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一些比较有代表性的题目

第一个

设 $A$ 为 $m\times n$ 的矩阵，且 $r(A)=n$ ，设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关，证明： $A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,\cdots ,A{\alpha }_s$ 线性无关。

证明线性无关或者相关都可以从定义入手。

设 $k_{1}A{\alpha }_1+k_{2}A{\alpha }_2+\cdots +k_{s}A{\alpha }_s=0$ ，则变换一下得到： $A{k}_1{\alpha }_1+A{k}_2{\alpha }_2+\cdots +A{k}_s{\alpha }_s=0$ ，则将此等式看作是： $AX=0$ ，且由于 $r(A)=n$ ，根据齐次方程组解的充要条件可以得到方程组只有零解。

所以： $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$ 。而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关，所以得到： $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$ ，进而得到： $A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,\cdots ,A{\alpha }_s$ 线性无关。

第二个

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,a_t$ 为 $AX=0$ 的基础解系， $\beta$ 不是 $AX=0$ 的解，证明： $\beta ,\beta +a_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$ 线性无关。

由于是基础解系，所以可以得到： ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 线性无关，且 $\beta$ 不是 $AX=0$ 的解，所以可以得到： $\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 线性无关。

而要证明 $\beta ,\beta +a_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$ 线性无关，这里从定义入手：

$$k\beta +k_1(\beta +{\alpha }_1)+k_2(\beta +{\alpha }_2)+\cdots +k_t(\beta +{\alpha }_t)=0$$

展开得到：

$$(k+k_1+k_2+\cdots +k_t)\beta +k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_t{\alpha }_t=0$$

由于 $\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 线性无关，那么可以得到其系数只能都等于 $0$

得到：

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}k+k_1+k_2+\cdots +k_t=0,\\ k_1=k_2=\cdots =k_t=0.\end{array}\end{array}$$

进而得到：

$$k=k_1=k_2=\cdots =k_s=0$$

从而得到 $\beta ,\beta +a_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$ 线性无关。

第三个

对于常见到的 $A^2=A$ ，有几个比较重要的结论：

$$A^2=A⟹{\lambda }^2=\lambda ⟹\lambda =0\mathrm{或}1$$

此外，由 $A^2=A$ 可以得到： $A(A-E)=0$ 。

所以可以得到： $R(A)+R(A-E)\le n$

但我们又知道： $R(A\pm B)\le R(A)+R(B)$ ，所以就可以凑出来形式为：

$$n=R(E)=R[A-(A-E)]\le R(A)+R(A-E)$$

综上所述，可以得到：

$$R(A)+R(A-E)=n$$

然后，其中， $R(A)=r$ ，则 $R(A-E)=n-r$ 。

由 $R(A)=r$ ，对于齐次方程 $AX=0=0\cdot X$ 来说， $0$ 是其特征值，共有 $n-r$ 重。

由 $R(A-E)=n-r$ ，对于齐次方程 $(A-E)X=0$ 来说，可以得到： $AX=1\cdot X$ ， $1$ 是其特征值，共有 $r$ 重。

第四个

设 $3$ 阶矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$ ，满足 $A^T=k{A}^{\ast }(k>0)$ ，若 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=c>0$ ，求 $c$

首先是利用行列式的性质得到：

$$|A|=|A^T|$$$$|A^{\ast }|=\left|\frac{|A|}{A}\right|=|A{|}^n|A^{-1}|=|A{|}^{n-1}$$

进而得到：

$$|A|=k^3|A{|}^2$$

所以， $|A|=\frac{1}{k^3}$ 。

再根据 $A^T=k{A}^{\ast }$ ，可以得到： $a_{ji}=k{A}_{ji}$ ，再利用求行列式的展开法，可以得到：

$$|A|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}=\frac{1}{k}(a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2)$$

再根据 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=c>0$ ，可以得到：

$$|A|=\frac{1}{k^3}=\frac{3}{k}{c}^2$$

解得： $c=\frac{\sqrt{3}}{3k}$

第五个

设 $n$ 阶行列式 $|A|=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & n-1\\ n& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right|$

则 $|A|$ 的第 $k$ 行元素的代数余子式之和 $A_{k1}+A_{k2}+\cdots +A_{kn}$ 是多少。

设 $A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & n-1\\ n& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$ ，则根据分块矩阵，可以得到： $A=\left(\begin{array}{cc}0& B\\ C& 0\end{array}\right)$ ，所以根据分块矩阵的逆，可以得到： $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& n^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right)$

展开为： $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& C^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& \frac{1}{n}\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{n-1}& 0\end{array}\right)$

然后再计算 $|A|$ 。按第一列展开得到： $|A|=(-1{)}^{n+1}\cdot n!$ 。

而我们知道 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ ，进而得到：

$$\left(\begin{array}{ccccc}{A}_{11}& \cdots & A_{k1}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& \cdots & A_{k2}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& \cdots & A_{kn}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=(-1{)}^{n+1}\cdot n!\cdot \left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& \frac{1}{n}\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{n-1}& 0\end{array}\right)$$

所以可以得到： $A_{k1}+A_{k2}+\cdots +A_{kn}=\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot n!}{k}$

第六个

设实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}a& a-1\\ a-1& a-1\end{array}\right)$ ，若对任意的二维非零实列向量 $X$ ，都有 $|X^{T}AX|<|X^{T}X|$ ，则 $a$ 的取值范围是：

已知：对于任意的维非零实列向量 ，都有 $X^{T}X>0$ 。

可以得到： $-X^{T}X<X^{T}AX<X^{T}X$ ，进而得到两个等式：

$$\begin{array}{rl}& X^T(A+E)X>0\\ & X^T(E-A)X>0\end{array}$$

这里是在凑正定的定义。而正定之后，则可以使用顺序主子式来求它的范围。

一些不知道放哪的性质

一些其他的注意事项

1. 可以利用行列式不等于 $0$ 来判断，某值不是其特征值，例如： $|A-E|\ne 0⟶{\lambda }_i\ne 1$ ，当然，这里可以是任意的特征值。

2. 求矩阵的秩，行变换和列变换都可以使用（可以混用）

3. 求解线性方程组，只能用行变换（所以如果凑不出左边单位矩阵的形式，就需要自行代入特解去尝试）

4. 求逆矩阵，可以使用行变换，也可以使用列变换，但是不可以混用

5. 对于任意的 $n$ 维非零实列向量 $X$ ，都有 $X^{T}X>0$

6. 单位列向量指的是各元素的平方和为 $1$ 。所以，可以认为 $\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\end{array}$ 是单位列向量，它的特征值为一个 $1$ ， $n-1$ 个 $0$

代数余子式与转置

如果 $A_{ij}=a_{ij}$ ，其中 $A_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的代数余子式， $a_{ij}$ 是矩阵 $A$ 中的元素。那么可以得到：

$$A_{ij}=k\cdot a_{ij}\iff A^{\ast }=k\cdot A^T$$

同时，可以延伸出来：

$$A_{ij}=k\cdot a_{ij}\iff A^{\ast }=k\cdot A^T$$

注意，上面公式中的 $A^{\ast }$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵。

这里要区分开来的是 $A^{\ast }$ 是伴随矩阵，是在代数余子式的基础上转置得来的；而 $A_{ij}$ 则是单纯的代数余子式。

$A^{\ast }$ 是将矩阵 $A$ 中每个位置的代数余子式求出之后进行转置的结果。

NOTE

注意，在计算伴随矩阵的时候，不需要乘对应位置上的元素值，只需要求出代数余子式即可

而在求行列式使用展开定理的时候，是需要乘以对应位置上元素值的。

此外，代数余子式一定是要计算 $(-1{)}^{ij}$ 的。

例如：

$$\begin{array}{r}{A}^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-a_{11}& -a_{21}& -a_{31}\\ -a_{12}& -a_{22}& -a_{32}\\ -a_{13}& -a_{23}& -a_{33}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right]=-A^T\end{array}$$

矩阵方程得到特征值

对于一些一般的矩阵，如果是以某种方程的形式给到。那么一般可以直接将方程中的矩阵换成 $\lambda$ ，然后将 $E$ 换成 $1$ 。

例如：

$$A^2-A-2E=0$$

就可以换成：

$${\lambda }^2-\lambda -2=0$$

分解得到：

$$(\lambda -2)(\lambda +1)=0⟹\lambda =2\mathrm{或}\mathrm{者}\lambda =-1$$

向量点乘矩阵

形如： $D=\alpha {\beta }^T$ ，其中 $\alpha$ 、 $\beta$ 都是 $n$ 维列向量。

它的特征值为：一个 ${\alpha }^T\beta$ ， $n-1$ 个 $0$ 。

NOTE

特别注意，单位 $n$ 维列向量， ${\alpha }^T\alpha =1$

矩阵多项式平方的展开方法

形如：

$$\begin{array}{rl}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3{)}^2& =(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3)\cdot (a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3)\\ & =(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\cdot (a_1,a_2,a_3)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\end{array}$$

行列式

NOTE

矩阵的行列式等于其特征值的乘积

计算方法

行列式有两种计算方法，一种是使用某一行或者某一列，乘以这一行或者这一列的代数余子式。

一种是使用行化简，或者列化简，得到上三角或者下三角，主对角线之和就是要求的行列式的值。

如果题目中出现“代数余子式”，并且还要求行列式这类问题，一般考虑使用代数余子式展开的方法。

NOTE

在计算行列式的时候，如果某一行或者某一列中的 $0$ 比较多，那么一般都是要使用展开定理计算代数余子式

当在计算一些抽象行列式的时候，如果行列式除主对角线意以外，第 $i(i=1,2,\cdots ,n)$ 行（列）的元素分别与第 $j(j\ne i)$ 行（列）成倍数关系，则可以使用加边法

[!tips] 加边法：将行列式的添加一行或者一列，使其生阶之后的行列式的值不变，这种方法叫做加边法。

一些特殊行列式的结果

第一个 - 两条线

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& & \dots \\ & a_2& b_2& \dots \\ & & a_3& \dots \\ \\ & & \dots & a_{n-1}& b_{n-1}\\ b_n& & \dots & & a_n\end{array}\right|\text{空白处为}0$$$$D_n=\prod _{i=1}^n{a}_i+(-1{)}^{n+1}\prod _{i=1}^n{b}_i$$

NOTE

这个地方有时候会让考虑 $n$ 的奇偶性，从而判断方程组只有零解

$AX=0$ 中，当 $|A|=0$ 是方程组有非零解；当 $|A|\ne 0$ 时，方程组只有零解

---

第二个 - 分块矩阵

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ \ast & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& B\end{array}\right|=|A||B|$$$$\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$$

其中， $m$ 为 $A$ 的维数， $n$ 为 $B$ 的维数

第三个 - 全 1 矩阵减去单位矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right]$$

其特点为主对角线为 0，其他地方为 1

结果为：

$$|A|=det(A)=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right|=(n-1)\times (-1{)}^{n-1}$$

具体推导过程在这里

第四个 - 回字形行列式

形如：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccccc}a& & & & & b\\ & \begin{array}{ccc}\bullet & & \\ & \bullet & \\ & & \bullet \end{array}& & & \begin{array}{ccc}& & \bullet \\ & \bullet & \\ \bullet & & \end{array}& \\ & & a& b& & \\ & & b& a& & \\ & \begin{array}{ccc}& & \bullet \\ & \bullet & \\ \bullet & & \end{array}& & & \begin{array}{ccc}\bullet & & \\ & \bullet & \\ & & \bullet \end{array}& \\ b& & & & & a\end{array}\right|$$

甚至于说，可以是任意的：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccccc}a& & & & & b\\ & \begin{array}{ccc}\bullet & & \\ & \bullet & \\ & & \bullet \end{array}& & & \begin{array}{ccc}& & \bullet \\ & \bullet & \\ \bullet & & \end{array}& \\ & & a& b& & \\ & & c& d& & \\ & \begin{array}{ccc}& & \bullet \\ & \bullet & \\ \bullet & & \end{array}& & & \begin{array}{ccc}\bullet & & \\ & \bullet & \\ & & \bullet \end{array}& \\ c& & & & & d\end{array}\right|$$

其计算方法是一样的：

$$|A|=(ad-cd{)}^n$$

用一个例子来说明：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}5& & & 6\\ & 1& 2& \\ & 3& 4& \\ 7& & & 8\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right|=(1\times 4-2\times 3)\times (5\times 8-6\times 7)=4$$

第五个 - 左上箭头行列式

这种一般是变换得到：

1800 P 100 T 4 上

计算：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|\end{array}{a}_i\ne 0,i=1,2,\cdots ,n$$

这道题的思路是从第二行开始，每一行都减去第一行。得到：

$$\left|\begin{array}{ccccc}1+a_1& 1& 1& \cdots & 1\\ -a_1& a_2& 0& \cdots & 0\\ -a_1& 0& a_3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_1& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|$$

这个就是一个典型的左上角箭头行列式。

具体思路是将第一列的 $-a_1$ 给消掉，然后得到上三角行列式，最后展开计算即可。

实现方法是：从第二列开始，每一列乘以 $\frac{a_1}{a_i}i=2,3,\cdots ,n$ ，由于每一列都乘了一个数，所以还要在前面除以一个倒数才使其相等。

所以得到的结果是：

$$\frac{a_n}{a_1}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_1}\cdots \frac{a_3}{a_1}\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \left|\begin{array}{ccccc}1+a_1& \frac{a_1}{a_2}& \frac{a_1}{a_3}& \cdots & \frac{a_1}{a_n}\\ -a_1& a_1& 0& \cdots & 0\\ -a_1& 0& a_1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_1& 0& 0& \cdots & a_1\end{array}\right|$$

然后再将第一列分别加上后面每一列，将第一列的 $-a_1$ 消去即可。得到：

$$\frac{a_n}{a_1}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_1}\cdots \frac{a_3}{a_1}\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \left|\begin{array}{ccccc}1+a_1+\frac{a_1}{a_2}+\cdots +\frac{a_1}{a_n}& \frac{a_1}{a_2}& \frac{a_1}{a_3}& \cdots & \frac{a_1}{a_n}\\ 0& a_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a_1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_1\end{array}\right|$$

然后计算最后的结果是：

$$\begin{array}{rl}& \frac{a_n{a}_{n-1}\cdots a_3{a}_2}{a_1^{n-1}}\cdot (1+a_1+\frac{a_1}{a_2}+\cdots +\frac{a_1}{a_n})\cdot a_1^{n-1}\\ =& a_n{a}_{n-1}\cdots a_3{a}_2\cdot (1+a_1+\frac{a_1}{a_2}+\cdots +\frac{a_1}{a_n})\\ =& (a_1{a}_2\cdots a_n)\cdot (1+\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots \frac{1}{a_n})\\ =& (a_1{a}_2\cdots a_n)\cdot (1+\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i})\end{array}$$

第六个 - 类似于递推行列式

2015 年数一

$$\mathrm{求}N\mathrm{阶}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{式}：\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& \cdots & 0& 2\\ -1& 2& \cdots & 0& 2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& 2\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|$$

这类题目一般都是利用展开定理，然后得到一个递推公式，从而得到最后结果。

直接对第一行进行展开。

$$D_n=2\times D_{n-1}+2\cdot (-1{)}^{n+1}\cdot (-1{)}^{n-1}=2D_{n-1}+2$$$$D_{n-1}=2D_{n-1}+2$$

然后，可以得到：

$$D_n=2\cdot (2D_{n-2}+2)+2=2^2{D}_{n-2}+2^2+2$$

以此类推，就可以得到：

$$D_n=2^{n-1}{D}_1+2^{n-1}+\cdots +2=2^n+2^{n-1}+\cdots +2=$$

利用等比数列求和就可以得到：

$$\begin{array}{r}{S}_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\end{array}$$$$D_n=2\cdot \frac{1-2^n}{1-2}=2^{n+1}-2$$

第六个 - 主对角线为 $a$ ，其他为 $b$

这种行列式的计算方法与全 $1$ 矩阵减去单位矩阵是类似的。

解决方法都是利用特征值来计算行列式。

形如：

$$D={\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|}_{n\times n}$$

首先是换成矩阵来计算，可以得到这个矩阵是：

$$D=b\times J_1-b{I}_1+a{I}_1=b\times J_1+(a-b)I_1$$

其中， $J_1$ 代表全一矩阵， $I_1$ 为单位矩阵（主对角线为 $1$ ，其余为 $0$ ）

而对于全一矩阵来说，它的秩为 $R(J_1)=1$ 。所以有 $n-1$ 个特征值为 $0$ ，有一个特征值为 $n$ 。

利用的是： $J_{1}v={\lambda }_{1}v$ ，而在这里设 $v=(1,1,\cdots ,1{)}^T$ 。得到 ${\lambda }_1=n$ 。（计算方法与全1矩阵减去单位矩阵的计算方法中的相同）

再利用特征值的表格，可以得到 $D$ 的一个特征值为： $b\times n+(a-b)$ ，而由于其他的 $n-1$ 特征值为 $0$ ，所以其他的 $n-1$ 个特征值为 $0\times b+(a-b)=a-b$ 。

而矩阵的行列式为所有特征值相乘，所以可以得到：

$$|D|=(b\times n+(a-b))(a-b{)}^{n-1}$$

范德蒙德矩阵及行列式

$$V=V(x_0,x_1,\cdots ,x_m)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right]$$

行列式结果：

$$det(V)=\prod _{n\ge i\ge j{\ge }_1}(x_i-x_j)=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots (x_n-x_1)(x_3-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})$$

当 $x_i\ne x_j$ （一行中的元素不相同）的时候， $R(V)=n$

当 $x_i=x_j$ （一行中的元素相同） 的时候， $R(V)=1$$

行列式的性质

$$|kA|=k^n|A|\mathrm{其}\mathrm{中}，n\mathrm{是}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{的}\mathrm{阶}\mathrm{数}$$$$|AB|=|A|\cdot |B|$$$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$$$A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=|A|\cdot E$$$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$$$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$$$A=|A|\cdot (A^{\ast }{)}^{-1}$$$$(kA)\cdot (kA{)}^{\ast }=|KA|\cdot E$$$$A^T\cdot (A^T{)}^{\ast }=|A^T|\cdot E$$$$A^{-1}\cdot (A^{-1}{)}^{\ast }=|A^{-1}|\cdot E$$$$A^{\ast }\cdot (A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|\cdot E$$$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}\cdot A\text{当且仅当}n=2\text{的时候}(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$$

NOTE

注意，行列式中，不存在拆开运算的规则。

也就是说： $|A+E|\ne |A|+|E|$

但是，存在意外，就是当只是对某一行或者某一列进行加减法的时候是可以拆开的。

$$\begin{array}{r}|M|=det\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}+\mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]+det\left[\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]\end{array}$$

这里补充一个知识点：

如果矩阵 $A$ 是正交的，那么有： $A\cdot A^T=E$ ，可以将这个结论代入到上面的行列中，替换掉 $E$

行列式与代数余子式之间的联系

当已知一个行列式，要求其某一行或者某一行几个元素的代数余子式，可以使用下面这个方法：

比如说：1800 P 99 T 1 下

$$D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 7& 7& 7& 3& 3\\ 3& 2& 4& 5& 2\\ 3& 3& 3& 2& 2\\ 4& 6& 5& 2& 3\end{array}\right|$$

求 $A_{31}+A_{32}+A_{33}$

具体方法就是，直接将 $A_{31}+A_{32}+A_{33}$ 补全为： $A_{31}+A_{32}+A_{33}+0\cdot A_{34}+0\cdot A_{35}$

然后直接用其系数替换掉原行列式中的第三行，变成：

$$M=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 7& 7& 7& 3& 3\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 3& 3& 3& 2& 2\\ 4& 6& 5& 2& 3\end{array}\right|$$

然后计算此行列式，得到的结果就是 $A_{31}+A_{32}+A_{33}$ 。

---

下面进行总结：

当一个行列式上的某一行或者某一列代数余子式乘以对应元素，得到的结果就是行列式的值。

如果不是对应的元素乘以代数余子式，得到的结果是 $0$ 。

$$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 3& 2& -1& 4\\ 7& 6& 0& 2\end{array}\right|=5A_{21}+6A_{22}+7A_{23}+8A_{24}$$

上面是对应的元素乘以对应的代数余子式，下面则是不对应的。

$$5A_{31}+6A_{32}+7A_{33}+8A_{34}=0$$

这个结论可以用在下面这个题上：（进阶用法）

$$D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 2& 2& 1& 1\\ a& b& c& d& e\\ 1& 1& 1& 2& 2\\ m& n& 0& -100& 24\end{array}\right|=9$$

要求： $A_{21}+A_{22}+A_{23}=?$

利用性质：

$$2\cdot A_{21}+2\cdot A_{22}+2\cdot A_{23}+1\cdot A_{24}+1\cdot A_{25}=|D|=9$$

且有：

$$1\cdot A_{21}+1\cdot A_{22}+1\cdot A_{23}+2\cdot A_{24}+2\cdot A_{25}=0$$

令 $A_{21}+A_{22}+A_{23}=x$ ， $A_{24}+A_{25}=y$ ，这样就可以通过解方程得到最后的结果。

---

要理解 $A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$

例如：1800 P 100 T 5

$$D=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & n-1\\ n& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right|$$

求 $A_{k_1}+A_{k_2}+\cdots +A_{kn}$

IMPORTANT

一定要理解代数余子式与伴随矩阵还有行列式之间的关系

比如上面这个题，要求其中一行的代数余子式之和，其实本质上就是求伴随矩阵这一列的和

这里需要明确的是：伴随矩阵是原矩阵中每个元素的代数余子式组成的矩阵再转置。

而我们知道： $A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$ ，也就是说，想要得到原矩阵中某一个元素的代数余子式，比如是第 3 行第 1 列的元素，那么需要去伴随矩阵的第 1 行第 3 列去得到。

这样就可以得到：

$$A_{31}=A_{13}^{\ast }=|A|{\left(A^{-1}\right)}_{13}$$

接下来的求和就比较简单了，只需要计算出来行列式，再将 $A^{-1}$ 第 $k$ 列的元素相加即可得到结果。注意，一定是严格按照上面的这个公式来计算的。

有关于秩的结论

1. 当 $P$ 、 $Q$ 都可逆的时候，有：

$$R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$$

2. 若 $R(A_{m\times n})=n$ （列满秩），则 $R(AD)=R(D)$ ；

3. 若 $R(A_{m\times n})=m$ （行满秩），则 $R(DA)=R(D)$ ；

4. 若 $R(A_{m\times n})=n$ （列满秩），则 $A_{m\times n}X=0$ 只有零解

5. 若 $R(A_{m\times n})\ne n$ （不是列满秩，但没说是行满秩） ，则 $A_{m\times n}X=0$ 有非零解

6. 矩阵 $A$ 与 $B$ 共阶 $⟺$ $R(A)=R(B)$

7. 向量组 $A$ 与 $B$ 共阶 $⟺$ $R(A)=R(B)=R(A,B)$

8. $R(A\pm B)\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$

9. 若 $A_{m\times n}{B}_{n\times s}=0$ ，则有 $R(A)+R(B)\le n$ ，例如 $A(A-E)=E$ ，则 $R(A)+R(A-E)\le n$

10. $$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1& \end{array}$$

11. $R(A)=R(A^{T}A)=R(A{A}^T)=R(A^T)$

12. $R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}$

13. 当 $A$ 可逆的时候， $R(A^{-1})=R(A)$

14. 若 $C={\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)}_{m\times n}$ ， $R(C)<n$ ，则 $CX=0$

15. $R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 为可逆矩阵。反过来说，如果前面条件不能满足，则 $P$ 、 $Q$ 不可逆。

16. 如果 $R(A)=1$ ，则有： $A^n=k^{n-1}A$ 其中 $k={\beta }^T\alpha =\sum _{i=1}^n{\alpha }_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(i=1,2,\cdots )$ ， ${\lambda }_i$ 为 $A$ 的特征值。

分块矩阵的一些结论：

17. $R\left(\begin{array}{cc}A& F\\ & B\end{array}\right)\ge R(A)+R(B)$ ，当 $A$ 、 $B$ 可逆的时候，等号成立

---

特征值与秩之间的关系：（在可对角化的基础上）矩阵的秩等于其非零特征值的个数（包括重根）

分块矩阵

分块矩阵的初等变换

NOTE

原理规则是一样的：左乘为行变换，右乘为列变换

对于分块矩阵来说，依然适用。

例如：

$$\begin{array}{r}C=\left(\begin{array}{cc}0& A\\ B& E\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}-AB& 0\\ B& E\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}-AB& 0\\ 0& E\end{array}\right)\end{array}$$

在上面的变换中，第一次是第一行减去 $A$ 倍的第二行。

第二次是第一列减去 $B$ 倍的第二列。

这样做的目的是为了与分块矩阵的秩结合，来判断一系列问题。

分块矩阵的秩：

$R\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=R(A)+R(B)$

$R\left(\begin{array}{cc}A& F\\ & B\end{array}\right)\ge R(A)+R(B)$ ，当 $A$ 、 $B$ 可逆的时候，等号成立

分块矩阵的伴随与逆

首先明确，伴随与逆之间的关系是：

$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$$

所以，求伴随本质上是求逆：

NOTE

口诀：

对于主对角线满的情况：

主不变，负对调，左行右列添负号（左乘行，右乘列，再添负号）

主对角线满无需对调，主对角线不满需对调

当主对角线不满的时候，则需要对主对角线和副对角线上的元素都进行对调

不需要对调的情况：

$$\begin{array}{r}{\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{r}{\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{r}{\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)\end{array}$$

必须对调的情况：

$$\begin{array}{r}{\left(\begin{array}{cc}0& B\\ A& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& A^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}0& B\\ A& C\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-A^{-1}C{B}^{-1}& A^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}C& B\\ A& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& A^{-1}\\ B^{-1}& -B^{-1}C{A}^{-1}\end{array}\right)\end{array}$$

而直到伴随矩阵的逆之后，则可以得到矩阵的伴随为：

$$M^{\ast }=|M|\cdot M^{-1}$$

而行列为：

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$$

转置矩阵

这个其实挺好理解，就是沿着主对角线反转一下即可得到转置。

下面是一些运算法则：

$$A^T+B^T=(A+B{)}^T$$$$A^T-B^T=(A-B{)}^T$$$$(AB{)}^T=B^T\cdot A^T$$

对于转置矩阵的行列式：

$$|A^T|=|A|$$

如果一个矩阵是一个正交阵，那么有：

$$A\cdot A^T=E$$

解矩阵方程

解矩阵方程的方法有两种，对于 $AX=B$ 、 $XA=B$ 、 $AXB=C$ ：

如果 $A$ 可逆，那么直接可以变换得到 $X=A^{-1}B$ ， $X=B{A}^{-1}$ ， $X=A^{-1}C{B}^{-1}$

如果 $A$ 不可逆，那么就需要将解方程转换成非齐次线性方程组来求解。

方程组

齐次与非齐次解的充要条件

非齐次

注意，以下结论，都不要求矩阵 $A$ 是一个方阵。

非齐次线性方程组无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,b)$ （系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩）

非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)=n$

非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$

非齐次线性方程组 $AX=b$ 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)$ ，推广到矩阵方程则是 $AX=B$ 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,B)$

若非齐次线性方程组 $AX=b(A_{m\times n})$ 满足 $r(A)=r(\bar{A})=r<n$ ，则方程组 $AX=b$ 的线性无关的解向量的个数最多的是 $n-r+1$ 个

若 $r(A)=m$ ，则 $AX=b$ 一定有解

解释：因为 $r(A)=m$ ，这意味着 $m\le n$ ，

NOTE

当已经知道 $R(A)=R(A,b)=n$ 的时候，可以使用克拉默法则来求解这个唯一解

齐次

当 $A$ 为方阵（ $n\times n$ ）：

齐次线性方程组 $AX=0$ 中，当 $|A|=0⟺R(A)<n$ 时，方程组有非零解；

齐次线性方程组 $AX=0$ 中，当 $|A|\ne 0⟺\text{R}(A)=n$ 时，方程组只有零解；

当 $A$ 不是方阵，而是 （ $m\times n$ ） ：

齐次线性方程组 $AX=0$ 中，当 $R(A)<n$ 时，方程组有非零解；

齐次线性方程组 $AX=0$ 中，当 $R(A)=n$ 时，方程组只有零解；（注意：这只可能在 $n\le m$ 时发生）

如果齐次线性方程组 $AX=0$ 中，有任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$ 使得 $A\alpha =0$ 成立。那么 $R(A)=0$ 。基础解析为 $n$ 个。

---

齐次方程组只有零解不能推出非齐次方程组有解。

齐次方程组有非零解不能推出非齐次方程组有无穷个解

齐次方程组 $AX=0$ 的基础解系所包含的线性无关的解向量个数为 $n-r(A)$ .

IMPORTANT

非齐次方程的解的线性组合在系数和为 $1$ 时仍然是解。

齐次方程组解的任意线性组合仍然为解

几个结论

若方程组 $AX=b$ 有无穷多个解，则方程组 $AX=0$ 则一定有非零解

推导： 非齐次有无穷多解： $R(A)=R(A,b)<n$ ；则 $R(A)<n$ ，不是满秩，所以 $|A|=0$ ，所以有非零解

若非齐次线性方程组 $AX=b$ 有无穷多个解 （ $R(A)=R(A,b)<n$ ） $⟺$ $A^{\ast }b=0$

解的结构

1. 设 ${\eta }_1$ 、 ${\eta }_2$ 、 $\cdots$ 、 ${\eta }_s$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的一组解，则 $k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_s{n}_s$ 也是 $AX=0$ 的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=0$

2. 设 ${\eta }_1$ 、 ${\eta }_2$ 、 $\cdots$ 、 ${\eta }_s$ 是非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一组解，则 $k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_s{n}_s$ 也是 $AX=b$ 的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=1$

3. $AX=b$ 方程组无解，则可以得到 $b$ 不能由 $A$ （向量组）的线性组合来表示

线性相关

NOTE

线性相关：

如果存在不全为零的系数： $(c_1,\dots ,c_k)$ ，使得： $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_k{v}_k=0$ ，那么这组向量线性相关。

线性无关：

给定向量空间中的一组向量： $\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}$ ，若只有所有系数都为零时，线性组合等于零：

$$c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_k{v}_k=0$$

的唯一解是：

$$c_1=c_2=\cdots =c_k=0$$

则称这组向量线性无关。

NOTE

向量组

线性相关的充分必要条件是其构成的矩阵的秩 $R(A)<m$ （向量个数）。

线性无关的充分必要条件是 $R(A)=m$ （向量个数）

$B:{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s$ 向量组无关 $\iff$ $R(B)=s$ ；

$B:{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s$ 向量组相关 $\iff$ $R(B)<s$

小相关可以推出大相关

大无关可以推出小无关

如果向量组 $A$ 线性无关，但是 $(A,b)$ 线性相关，则向量 $b$ 一定能由 $A$ 来表示，且形式唯一

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NOTE

维数小于个数（组成的矩阵，行数小于列数）的时候，一定线性相关（例如 3 个 2 维列向量，一定线性相关）原理是秩的最大值小于等于维数，小于个数的时候就会线性相关

反之，当维数大于等于个数的时候，却不一定是线性无关的。例如下面这个：

$$D=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\end{array}\right]$$

快速求解

直接上个例子：

求 $AX=b$ 的通解，先将 $(A,b)$ 这个矩阵进行初等变换，比如说变换成下面这样：

$$(A,b)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& -1& -3& 7& |& 6\\ 0& 1& 2& -4& 8& |& 4\\ 0& 0& 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right)$$

注意看，在上面这个变换之后的矩阵中，左上角得到了一个二阶单位矩阵，并且，可以发现这是一个五元方程组的解，那么最后的通解则有三项齐次通解加上一个非齐次特解得到的，是：

$$X=C_1\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+C_3\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

可以注意到，上面齐次通解部分就是单位矩阵后面三个元素取反之后得到的，然后下面再用单位矩阵补齐，是几元就需要补充到几元。至于非齐次特解，则是直接照抄最后最后一列的前两行（因为只有这两行非零），然后剩下的部分用零补齐即可

IMPORTANT

注意，这里的特解必须是化简到行最简形式：

例如：

$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 0& |& 3\\ 0& 1& -2& 0& |& -8\\ 0& 0& 0& 1& |& 6\end{array}\right)$$

$1$ 的上面和前面必须都是 $0$

只有这样得到的才是真正的特解： $\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 6\end{array}\right)$

验证特解是否正确的方法是，将特解代入到方程中，如果成立则没问题。

用到的方法还是传统计算，这只是将其化简了。

NOTE

原理在于：每一行可以得到（齐次通解）：

$${\alpha }_1={\alpha }_3+3{\alpha }_4-7{\alpha }_5$$$${\alpha }_2=-2{\alpha }_3+4{\alpha }_4-8{\alpha }_5$$

然后分别令 ${\alpha }_3$ 、 ${\alpha }_4$ 、 ${\alpha }_5$ 等于 $100$ 、 $010$ 、 $001$ ，然后就能得到上面的通解，特解直接照抄然后补 $0$ 即可。

如果要求 $\beta$ 用 $\alpha$ 来表示，那么将上面求到的 $X$ 再代入到 $\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\end{array}\right)X=\beta$ 中，即可得到他们之间的关系。

其中， $X$ 的形式为： $X=\left(\begin{array}{c}{C}_1{a}_1+C_2{a}_2+k_1\\ C_1{b}_1+C_2{b}_2+k_2\\ C_1{d}_1+C_2{d}_2+k_3\end{array}\right)$ ，其实就是解合起来。

克拉默法则求解

克拉默法则用于在非齐次线性方程组有唯一解， $R(A)=R(A,b)=n$ 的时候。

当 $|A|\ne 0$ 时，方程组 $Ax=b$ 有且仅有唯一解，且解的形式为：

$$\begin{array}{r}{x}_j=\frac{|A_j|}{|A|}(j=1,2,\dots ,n)\end{array}$$

其中：

1. $|A|$ 是系数矩阵的行列式（也称为“主行列式”），且 $|A|\ne 0$ ；

2. $|A_j|$ 是替换行列式。将系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 j 列元素，替换为常数项向量 $\mathbf{b}$ 的对应元素后，得到的新 $n$ 的矩阵的行列式。

公共解问题

普遍来说，公共解的问题本质上是将两个方程组的基础解系求出来之后，然后在此基础上将两部分的基础解系联立，得到一个公共的解。

可逆以及诸多结论

如果 $A_{n\times n}$ 可逆，则可以得到下面这些：

则 $|A|\ne 0$ ，原理： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

$A\sim E$ ，原理： $(A,E)\stackrel{r}{\sim }(E,A^{-1})$

$R(A)=n$ ，原理：若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$

$AX=0$ 只有零解，原理：若 $R(A_{m\times n})=n$ ，则 $AX=0$ 只有零解

$AX=b$ 的解唯一，原理： $R(A)=R(A,B)=n$

$A$ 的特征值都不为 $0$ ，原理： $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n$

$A^{T}A$ 正定

$A$ 的列（行）向量组无关

以上结论都可以相互推导，都是双向箭头

当然，如果 $A$ 不可逆，则上面的所有结论都将反过来。 比如，最根本的一个就是当 $A$ 不可逆的时候， $|A|=0$

单向的：

如果 $R(A{)}_{m\times n}=n$ ，则 $ABX=0$ 与 $BX=0$ 同解

---

此外，有很多关于 $|A|=0$ 的推导，后续更新：

1. 齐次方程组有非零解
2. $A$ 不可逆
3. $r(A)<n$

对于一些题目中的求逆，只要能将题目中的条件分解成： $A(A{)}^{-1}=E$ ，其中 $A$ 是要求逆的矩阵，分解成此矩阵乘某个东西等于 $E$ ，这个东西就是这个目标矩阵的逆

NOTE

对于非方阵 $A_{m\times n}$ ：

当它为列满秩（ $R(A)=n$ ， $m>n$ ）有左逆，即存在 $B_{n\times m}$ ，使得 $BA=E_n$ ，等价于对 $A$ 的每个列向量解线性方程组

当它为行满秩（ $R(A)=m$ ， $m<n$ ）有右逆，即存在 $B_{n\times m}$ ，使得 $AB=E_m$ ，等价于对 $A$ 的每个行向量解线性方程组。

求逆的各种方法

凑单位矩阵法（抽象矩阵定义）

对于部分的抽象矩阵，形式比较复杂的，可以使用凑的方法：

$$A\cdot A^{-1}=E$$

只要能凑出来 $A$ 和 $E$ ，那么剩下的就是 $A^{-1}$

伴随矩阵法

$$\begin{array}{r}{A}^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }\end{array}$$

前提是 $|A|\ne 0$

行变化方法

$$(A\mid E)\stackrel{\text{行变换}}{\to }(E\mid A^{-1})$$

其中 $E$ 是单位矩阵

特殊矩阵求逆

1. 对角矩阵：$$\begin{array}{r}D=\text{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_n)Rightarrow{D}^{-1}=\text{diag}(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\dots ,frac1d_n)\end{array}$$

初等矩阵

性质与重要公式

首先就是都可逆；

$$[E_i(k){]}^{-1}=E_i\left(\frac{1}{k}\right)$$$$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$$$$[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$$

有关实对称矩阵的一些结论（合同）

对于实对称矩阵 $A$ ，一定存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $A$ 可以正交对角化。

则可以得到： $A=Q^T\mathrm{\Lambda }Q=Q^{-1}\mathrm{\Lambda }Q$ ，其中 $Q$ 为正交矩阵。

NOTE

正交矩阵的行（列）向量也是正交的。

此外，正交矩阵的特征值为能为 $1$ 或者 $-1$ （实数范围内）

若 $A、B$ 为对称矩阵：

1. 则 $A、B$ 相似 $⟹$ $A、B$ 合同 $⟹$ $A、B$ 等价

2. $A、B$ 相似 $⟺$ $A、B$ 特征值相同

若 $A、B$ 为一般矩阵（不对称） 且 $A、B$ 等价：【】

1. $A、B$ 等价 $⟺$ $R(A)=R(B)$

2. $A、B$ 等价 $⟺$ $PAQ=B$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 可逆

NOTE

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交

NOTE

如果两个矩阵 $A$ 和 $B$ 中有一个不是实对称矩阵，那么他们不是合同的

---

实对称矩阵的秩为 $r$ ，意味着此矩阵有 $n-r$ 个 $0$ 特征值。

对于实对称矩阵，它的特征向量的组合就可以构成可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP\sim \mathrm{\Lambda }$

实对称矩阵的特征向量的个数可以说是无限多个；求出特征值对应的特征向量之后，要在特征向量的前面加上常系数 $k_i$ 。例如： $k_1{\alpha }_1$

正交与正交变换

NOTE

在正交变换下，标准形的系数就是其特征值

$\alpha$ 、 $\beta$ 正交：则有 ${\alpha }^T\beta =\alpha {\beta }^T=0$

正交向量组 $⟹$ 线性无关组

线性无关组 $\bcancel{⟹}$ 正交向量组

施密特正交组

直接记忆：

$$b_1=a_1$$$$b_2=a_2-\frac{(b_1,a_2)}{(b_1,b_1)}{b}_1$$$$b_3=a_3-\frac{(b_1,a_3)}{(b_1,b_1)}{b}_1-\frac{(b_2,a_3)}{(b_2,b_2)}{b}_2$$$$b_4=a_4-\frac{(b_1,a_4)}{(b_1,b_1)}{b}_1-\frac{(b_2,a_4)}{(b_2,b_2)}{b}_2-\frac{(b_3,a_4)}{(b_3,b_3)}{b}_3$$$$\cdots$$$$b_r=a_r-\frac{(b_1,a_r)}{(b_1,b_1)}{b}_1-\frac{(b_2,a_r)}{(b_2,b_2)}{b}_2-\frac{(b_3,a_r)}{(b_3,b_3)}{b}_3-\cdots -\frac{(b_{r-1},a_r)}{(b_{r-1},b_{r-1})}{b}_{r-1}$$

正交矩阵

当 $A^{-1}=A^T$ 的时候，称 $A$ 为正交矩阵

当然可以得到：

$$A\cdot A^T=A\cdot A^{-1}=E$$

对于一个正交矩阵 $A_{n\times m}$

1. 其定义： $A^{T}A=E$
2. $A$ 为正交矩阵，则 $|A|=1$ 或者 $|A|=-1$
3. 若 $A$ 为正交矩阵，则 $A^{-1}$ 、 $A^T$ 、 $A^{\ast }$ 也是正交矩阵
4. 若 $A$ 、 $B$ 都为正交矩阵，则 $AB$ 也是正交矩阵
5. 若 $A$ 为正交矩阵 $⟺$ $A$ 的列（行）向量组为单位正交向量组，在这种情况下，一般要考虑施密特正交化来求解此矩阵。（可以用来判断此矩阵是否为正交矩阵）
6. 若 $A$ 为正交矩阵，则它的特征值只能为 $1$ 和 $-1$ （实数范围内）

---

针对某矩阵 $A$ ， $A$ 的特征多项式为 $(A-\lambda E)X=0$ ，要使此多项式有非零解的充要条件是：

$$|A-\lambda E|=0$$

即可求出特征值 ${\lambda }_i$ （方程的根）

相似矩阵

NOTE

相似的定义：

一个矩阵 $A$ 满足 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 相似

本质上是对 $A$ 做初等行变换能否变换为 $B$

判断是否相似

NOTE

一般来说，判断两个矩阵是否相似，首先判断行列式是否相等。然后是秩是否相等，然后迹是否相等；

如果都没有问题，那就求两个矩阵的特征值，然后分别求 $(A_1-{\lambda }_{i}E)$ 和 $(A_2-{\lambda }_{i}E)$ 的解向量是否一致。（几何重数要相同，代数重数也要相同）

特征值 $\lambda$ 的几何重数等于 $n-r(A-\lambda E)$ （ $n$ 为矩阵阶数）

代数重数：此特征值有几重（两个相同的特征值就是两重）

例如：

$$J_1=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)J_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

他们的特征值都是两重的 $1$ ，代数重数相同；但是他们的 $n-r(A-\lambda E)$ 却不相同，一个是 $1$ ，一个是 $2$ ，所以他们不相似

判断两个矩阵是否相似，首先是能否找到这个可逆矩阵。

其次，如果两个矩阵都能对角化，并且具有相同的特征值及其代数/几何重数也相同，那么它们相似。

如果没说其特征值是否相等，那么就有可能不能相似。

NOTE

实对称矩阵一定能对角化

可以对角化的矩阵，其特征值的代数重数和几何重数是相同的

如果下面相似能得到的这些结论中也存在部分不能满足，那么也不是相似的。

相似的结论

如果 $A\sim B$

则有：

$$r(A)=r(B)$$$$tr(A)=tr(B)$$$$|A|=|B|$$$$A\text{与}B\text{的特征值相等}$$$$A^{\ast }\sim B^{\ast }$$$$A^T\sim B^T$$$$A^{-1}\sim B^{-1}\text{（可逆的话）}$$$$A^n\sim B^n$$

$f(A)$ 与 $f(B)$ 也相似（包括 $A$ 与 $B$ ， $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ ， $A^2+2A+E$ 与 $B^2+2B+E$ 等相同运算）

IMPORTANT

可以使用相似对角化来求某个矩阵的高阶次方

特征值与特征向量

一些结论

若 $A{\xi }_1={\lambda }_1{\xi }_1$ ， $A{\xi }_2={\lambda }_2{\xi }_2$ ，且 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$

则有： $k_1{\xi }_1+k_1{\xi }_2$ 也是 $A$ 的特征向量（ $k_1$ , $k_2$ 当且仅当有一个为 $0$ ）

$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$ 不是 $A$ 的特征向量（ $k_1$ 、 $k_2$ 都不为 $0$ ）

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若 $A_{m\times n}$ 每行元素之和为 $n$ ，则有 $\lambda =n$ ， $\xi =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ （也就是 $A$ 、 $B$ 相似 ），则可以得到：

1. $|A|=|B|$ ， $tr(A)=tr(B)$
2. $R(A)=R(B)$
3. $f(A)$ 与 $f(B)$ 也相似（包括 $A$ 与 $B$ ， $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ ， $A^2+2A+E$ 与 $B^2+2B+E$ 等相同运算）

注意，这部分要和相似矩阵结合起来。

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若方阵 $A$ 的特征值为： ${\lambda }_1，{\lambda }_2，{\lambda }_3$ ，其对应的特征向量为： ${\alpha }_1，{\alpha }_2，{\alpha }_3$ 。如果有 $P=(k_1{\alpha }_2,k_2{\alpha }_3,k_3{\alpha }_1)$ ，求 $P^{-1}AP$ 。

只需要按照 $P$ 中特征向量的顺序将 $A$ 的特征值排序即可（与系数 $k_1$ 、 $k_2$ 、 $k_3$ 无关）：

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_2& 0& 0\\ 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1\end{array}\right)$$

NOTE

但是，如果 $P=(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,k_3{a}_2+k_4{a}_3+k_5{\alpha }_3+k_6{\alpha }_1)$ ，那么就不能使用这种方法了，应该先将 $P$ 表示成： $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\cdot C$ 的形式。而 $P^{-1}=C^{-1}({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3{)}^T$ ，代入到 $P^{-1}AP$ 中进行矩阵的计算即可

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设 $\alpha$ 、 $\beta$ 为 $n$ 维列向量，则 $\alpha {\beta }^T=A$ 的 $n$ 个特征值为：一个： ${\alpha }^T\beta ={\beta }^{T}A=tr(A)$ ， $n-1$ 个 $0$ 。

所以， $\alpha {\alpha }^T$ 的 $n$ 个特征值为一个 ${\alpha }^T\alpha =1$ ， $n-1$ 个 $0$

所以， $A=E-\alpha {\alpha }^T$ 的特征值为： 一个 $1$ ， $n-1$ 个 $0$

进而可以得到 $A$ 不可逆。

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特征值 $\lambda$ 对应的特征向量个数 $=\dim E_{\lambda }=n-r(A-\lambda I)$ 。

例如一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 的有三个线性无关的特征向量，其中一个特征值为 ${\lambda }_1$ 为 $r$ 重特征值。

为了保持特征向量线性无关（可对角化），其对应的特征向量的个数应该是 $r$ ，这意味着 $r(A-{\lambda }_{1}E)=n-r$

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$$Av=\lambda v⟹A^{n}v={\lambda }^{n}v$$

特征值以及可逆矩阵的求法

一个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足：

$$Av=\lambda vv\ne 0$$

其等价于：

$$(A-\lambda I)v=0$$

如果要由非零解 $v$ ，则需要满足：

$$|A-\lambda I|=0$$

然后解此行列式即可得到结果。

如果接下来是要求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

那么在求出来特征值之后，利用方程组的知识点。得到：

$$(A-\lambda E)X=0$$

利用已经得到的 $\lambda$ （比如有三个不同的特征值），那么就需要分别将这三个特征值代入到上面的方程中，求其基础解系。

得到基础解系之后，就是根据特征值对应的基础解系组合到一起，得到：

$$\begin{array}{r}{\lambda }_1=2\Rightarrow {\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\lambda }_2=6\Rightarrow {\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\lambda }_3=6\Rightarrow {\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)\end{array}$$$$\text{令}P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right),\text{则有}{P}^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ & 6& \\ & & 6\end{array}\right)$$

一定要注意对齐。

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出现特征值，一定要考虑特征值变换问题。记得使用下面这个表格的内容。

一个对比表格：

原矩阵为 $A$

矩阵	$A$	$a\ast A+b\ast E$	$A^k$	$A^{-1}$	$A^{\ast }$	$f(A)$	$A^T$	$P^{-1}AP$	$PA{P}^{-1}$
特征值	$\lambda$	$a\ast \lambda +b$	${\lambda }^k$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{|A|}{\lambda }$	A	$\lambda$	$f(\lambda )$	$\lambda$
特征向量	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	----	$P^{-1}\alpha$	$P\alpha$

$A^{\ast }$ 的特征向量与 $A$ 的特征向量是一样的，但是特征值是不同的（ ${\lambda }_{A^{\ast }}=\frac{|A|}{\lambda }$ ）；分子是行列式的值，不是绝对值

NOTE

一对矩阵，特征值相同，一定相似

相似 $⟹$ 合同 $⟹$ 等价

$A\sim B$ $\iff$ $R(A)=R(B)$ $\iff$ $PAQ=B$

NOTE

一个矩阵的特征值相乘得到这个矩阵的行列式。

一个矩阵的特征值相加得到这个矩阵的迹

$$tr(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots \lambda n$$

NOTE

设 $\alpha$ 、 $\beta$ 为 $n$ 维向量，则 $\alpha {\beta }^T$ 的 $n$ 个特征值为： ${\alpha }^T\beta ,0,0,\cdots ,0$ ，共有 $n-1$ 个 $0$ 特征值。

其中， ${\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha =tr(A)$

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矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足以下：

$$|A-\lambda E|=0$$

其中的 $\lambda$ 代表的是矩阵 $A$ 的特征值。

当然如果出现 $|E-A|=0$ ，提取一个负号出来不会改变特征值。

当然如果是： $|E-2A|=0$ ，那么就不只是需要提取一个符号出来，还需要除以 $2$ ，来得到特征值，注意一定是 $A-\lambda E$ ，是减法

可逆变换与正交变换

在可逆变换下，二次型的系数不一定是其特征值

在正交变换下，二次型的系数一定是其特征值

NOTE

在考研中，讨论合同、正定的时候，只考虑对称矩阵

所以，对这句话的认识就是：如果题目中没有出现对称矩阵，那么在讨论合同、正定问题的时候一般都是不考虑的（特指选择题）

正定

一些结论

1. 若矩阵 $B$ 为正定矩阵，则存在唯一正定矩阵 $A$ 使得 $A^2=B$

定义及判断方法

NOTE

正定的定义：

设 $A$ 是 $n\times n$ 的实对称矩阵。若对于任意非零列向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$，都有

$$\begin{array}{r}{x}^{T}Ax>0,\end{array}$$

则称 $A$ 为正定矩阵。

若 $A$ 正定，则有：

1. $\mathrm{\forall }A\ne 0,X^{T}AX>0$

2. ${\lambda }_i>0,i=1,2,3,\cdots ,n$

3. $A=P^{T}EP\iff A=P^{T}P$

4. $A$ 的顺序主子式 $>0$

5. 正交特征值的数量为 $n$

6. 正惯性指数为 $n$

7. $A$ 正定 $⟺$ $A^T$ 正定 $⟺$ $A^{-1}$ 正定

8. $A$ 正定 $⟹$ $A^{\ast }$ 正定。（单行箭头）

9. 若 $A$ 、 $B$ 正定且 $AB=BA$ ，则 $AB$ 也正定

10. $P^{-1}AP=E$ ，那么 $A$ 的特征值都为 $1$ ，则 $A$ 为正定矩阵；但如果 $A$ 是正定矩阵，不一定与 $E$ 相似。

以上方法可以用来判断一个矩阵（二次型所对应的对称矩阵）是否正定

快速判断二次型是否正定

对于一个二次型，可以是方程形式：

$$\begin{array}{r}{f}_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_4{)}^2+(x_4-x_1{)}^2\end{array}$$

只要代入一个任意的非零向量，结果如果小于等于 $0$ ，那么他就不是正定的。

这种方法可以用来快速排除非正定。

此外，二次型正定的充要条件是：

对任意的 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 有 $f(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)\ge 0$ ；当方程组只有 $0$ 解的时候，等号成立

合同

如果存在一个 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $A$ 与 $B$ 可以通过关系式 $B=P^{T}AP$ （其中 $P^T$ 是 $P$ 的转置）联系起来，则称矩阵 $A$ 和 $B$ 是合同矩阵。

判断合同

对于实对称矩阵，判断合同性应比较正、负、零特征值的数量（惯性指数）

若 $A、B$ 为对称矩阵，则 $A、B$ 相似 $⟹$ $A、B$ 合同 $⟹$ $A、B$ 等价

NOTE

在考研中，讨论合同、正定的时候，只考虑对称矩阵

所以，对这句话的认识就是：如果题目中没有出现对称矩阵，那么在讨论合同、正定问题的时候一般都是不考虑的（特指选择题）

同解

$AX=0$ 与 $BX=0$ 同解 $⟺$ $R(A)=R(B)=R\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$

若 $R\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)=n$ ，那么 $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)X=0$ 只有零解，进而 $AX=0$ 和 $BX=0$ 没有非零的公共解

向量组 $A$ 与向量组 $B$ 共价 $⟺$ $R(A)=R(B)=R(A,B)$

$A$ 如果为一般矩阵：不同的特征值对应的特征向量线性无关

$A$ 如果为对称矩阵：不同的特征值对应的特征向量正交

NOTE

两个线性方程组（或它们的系数矩阵）如果能通过有限次初等行变换（或行列变换）互相转化，就称为 共价

两个线性方程组 ${\mathrm{\Sigma }}_1$ 和 ${\mathrm{\Sigma }}_2$ 如果 解集完全相同，就称它们是 同解方程组.。

若 $AX=0$ 的解都是 $BX=0$ 的解，则 $AX=0$ 与 $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)X=0$ 同解

等价

等价的定义：

两个向量组等价，代表它们之间可以相互线性表示，比如 $A$ 中的每个向量都可以用 $B$ 中的向量表示，反过来也成立。

判断公式：

$$R(A)=R(B)=R(A|B)\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{增}\mathrm{广}\mathrm{矩}\mathrm{阵}$$

但是，如果使两个矩阵等价，意味着他们之间可以通过有限次的初等行变换进行转换，这与向量组等价之间是不一样的。

一般来说，对于证明两个矩阵等价，一般思路是令 $AX=B$ ， $BX=A$ 使这两个方程均有解（唯一或者无限都可以 $R(A)=R(AB)$ ）即可。

内积与外积

两个列向量的内积（ $A={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha$ ，内积是一个数）等于其外积（ $B=\alpha {\beta }^T$ 或者 $B=\beta {\alpha }^T$ ，外积是一个矩阵）组成的矩阵的迹（主对角线元素之和）。（注意， $\alpha {\beta }^T\ne \beta {\alpha }^T$ ，但是形成矩阵的迹是相等的 ）

对角化

判断一个矩阵是否可以进行对角化的方法有三个：

1. 对于一个 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果它有 $n$ 个线性无关的特征向量，那么它就可以进行对角化（双向箭头）。
2. 如果 $A^T=A$ ， $⟹$ $A$ 可以对角化。（注意，这里是单向箭头）
3. $A$ 的 $n$ 个特征值都不相等 $⟹$ $A$ 可以对角化

实对称矩阵一定可以对角化

若矩阵 $A$ 可以对角化，则其秩等于其非零特征值的个数

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一个矩阵可以对角化的充要条件是对于任意一个特征值，其代数重数（特征多项式的重数）等于其几何重数（线性无关特征向量的个数）

代数重数： ${\lambda }_i=a$ ，其中 $i=1,2,3,\cdots$ ，当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=a$ 时，则认为是二重

惯性系数与标准形

惯性系数和标准形，主要是实对称矩阵中讲到

惯性系数是描述实二次型（或实对称矩阵）本质属性的一组数值。

对于 $n$ 元来二次型 $f(x)=x^{T}Ax$ ，通过可逆线性变换（即存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $x=Cy$ ）可将其化为规范型： $f=y_1^2+y_2^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_{p+q}^2$ 其中：

• 正惯性系数：规范形中系数为 $+1$ 的个数
• 负惯性系数：规范形中系数为 $-1$ 的个数

任意一个实二次型，经过不同的可逆线性变换化为的规范型是唯一的。

二次型与标准型

#TODO

贡献者

王海平

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28d3e-笔记上传:2025-10-29 16:54:06