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无界函数的反常积分。

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任意邻域内都无界，那么点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界点），无界函数的反常积分称为瑕函数。

定义：

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，点 a 为函数 $f(x)$ 的瑕点, 如果极限

$$\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$$

存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分，记作 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ ，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$$

这时也称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散

常用结论

$${\int }_a^b\frac{1}{{(x-a)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p\ge 1,& \text{发散}\end{array}$$

$${\int }_a^b\frac{1}{{(b-x)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p⩾1,& \text{发散}\end{array}$$

$${\int }_0^1{x}^p|\ln x{|}^{q}dx({\int }_0^1(1-x{)}^p|\ln (1-x){|}^{q}dx)$$

当 $p>-1$ ， $q>-1$ 的时候收敛

$$\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p{\ln }^{q}n}$$

当 1. $p>1$ 或 2. $p=1$ ，且 $q>1$ 的时候收敛

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p{\ln }^{q}x}dx(a>1)$$

当 $p>1$ 的时候收敛，当 $p=1$ ， $q>1$ 的时候收敛

$$\int \frac{1}{x^{\alpha }{\ln }^{\alpha }x}dx$$

当 $x\to 0$ ， $\alpha <1$ 或者 $\alpha =1$ ， $\beta >1$ 的时候收敛

当 $x\to \mathrm{\infty }$ ， $\alpha >1$ 或者 $\alpha =1$ ， $\beta >1$ 的时候收敛

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dxa>0,p\text{为任意实数}$$

当 $p\le 1$ 时，发散。

当 $p>1$ 时，收敛于 $\frac{a^{1-p}}{p-1}$

贡献者

王海平

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c207a-笔记上传:2025-12-14 15:27:09