王海平的个人知识库

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伴随矩阵

性质与重要公式

A \cdot A^{*} = A^{*} \cdot A = | A | \cdot E

A^{*} = | A |^{n - 1}

A^{*} = | A | \cdot A^{- 1}

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}

A = | A | \cdot (A^{*})^{- 1}

(k A) \cdot (k A)^{*} = | K A | \cdot E

A^{T} \cdot (A^{T})^{*} = | A^{T} | \cdot E

A^{- 1} \cdot (A^{- 1})^{*} = | A^{- 1} | \cdot E

A^{*} \cdot (A^{*})^{*} = | A^{*} | \cdot E

(A^{*})^{*} = | A |^{n - 2} \cdot A 当且仅当 n = 2 的时候 (A^{*})^{*} = A

初等矩阵

性质与重要公式

首先就是都可逆；

[E_{i} (k)]^{- 1} = E_{i} (\frac{1}{k})

E_{i j}^{- 1} = E_{i j}

[E_{i j} (k)]^{- 1} = E_{i j} (- k)

各种类型题目

矩阵的高次幂

秩为 1 的矩阵

NOTE

若矩阵 $A$ 的秩 $r (A) = 1$ ，则 $A$ 可分解为一个列向量与一个行向量的乘积

A = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{3}, b_{2}, b_{3} \end{matrix}] = α β^{T}

则 $t r (A) = α^{T} β = β^{T} α$ 都是一个数（相同）

来个例题：

直接等于主对角线之和，（因为秩为 1）

再来一个：

上图中的 $l$ 是指主对角线元素之和

二项展开形

这里主要是将原来的矩阵拆开成两个矩阵相加的形式，一般来说，拆出来的这个矩阵都比较有特点，例如拆出一个 $E$ 单位矩阵来。

然后使用二项式定理，得到最后的答案：

相似对角形

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