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三者之间的关系

注意，以上关系图中均为单向箭头，即全是必要条件

多元函数求极限

1. 夹逼准则用的比较多。

2. 有界函数 $\times$ 无穷小量 = 无穷小量

3. 重要极限

4. 利用极坐标公式转换到一元函数

偏导数定义

对 $x$ 的偏导数：

$$\begin{array}{rl}{f}_x(x_0,y_0)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0){|}_{x=x_0}\end{array}$$

对 $y$ 的偏导数：

$$\begin{array}{rl}{f}_y(x_0,y_0)& =\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x_0,y){|}_{y=y_0}\end{array}$$

可微的定义

函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，等价于：

$$\begin{array}{r}\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0\end{array}$$

可微的必要条件：

若 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微，则该函数在点 $(x,y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 都存在。

贡献者

王海平

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c207a-笔记上传:2025-12-14 15:27:09