求极限

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一、定积分定义

NOTE

核心公式：

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})={\int }_0^{1}f(x)dx$$

需要理解的是，定积分所求的就是此函数曲线所对应的面积大小，只不过这里用极限的思想进行引申，相当于很多个非常小的四边形面积求和

适用类型：

只要题目经过代数变换之后出现 $\frac{1}{n}$ 和 $f(\frac{k}{n})$ （或者出现 $f(\frac{i}{n})$ 就可以用定积分定义）

NOTE

推广：

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+\frac{k(b-a)}{n})={\int }_a^{b}f(x)dx$$

原理：

把区间$0\to 1$推广到区间$a\to b$，区间每一段的长度从$\frac{1-0}{n}$变为$\frac{b-1}{n}$，对应的函数值由$f(\frac{1}{n}),f(\frac{2}{n}),...,f(\frac{n}{n})$变为对应的$f(a+\frac{b-1}{n}),f(a+\frac{2(b-a)}{n}),f(a+\frac{3(b-a)}{n}),...,f(a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}),f(a+\frac{n(b-a)}{n})$

在开始之前，需要了解一道例题，这道例题我当时在做的时候是错了的，所以现在需要复盘一下。

$$x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),\text{计算}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sqrt{(n{e}^x+i)(n{e}^x+i+1)}$$

正常来看，看到式子中含有 $\frac{1}{n^2}$ 差不多就会考虑定积分定义。

所以开始计算：

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sqrt{(n{e}^x+i)(n{e}^x+i+1)}\\ \to & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sqrt{\frac{(n{e}^x+i)(n{e}^x+i+1)}{n^2}}\\ \to & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sqrt{(e^x+\frac{i}{n})(e^x+\frac{i}{n}+\frac{1}{n})}\\ & \text{这个地方的}\frac{1}{n}\text{趋于0，所以忽略不计}\\ \to & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(e^x+\frac{i}{n})\\ \text{重点来了}& \text{，主要看上面的定积分定义，是将}\frac{i}{n}\text{转换为}x\\ \text{所以这个}& \text{地方的}{e}^x\text{是一个与}x\text{无关的量，在计算的时候}\\ \text{忽略不计}& \text{所以将其设为}A\\ \to & {\int }_0^1(A+x)dx\\ \to & (Ax+\frac{1}{2}{x}^2){|}_0^1\\ \to & A+\frac{1}{2}\\ \to & e^x+\frac{1}{2}\end{array}$$

NOTE

这个地方最关键的地方是要考虑清楚定积分定义在使用的过程中，是关于 $\frac{i}{n}$ 的。当然，不排除存在不能凑出 $\frac{i}{n}$，这个时候需要根据题目来进行判断，适当的进行放缩。 比如下面这个题目

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n^2+1}{n^3+1^3}+\frac{n^2+2}{n^3+2^3}+\dots \dots +\frac{n^2+n}{n^3+n^3})$$

很明显是有影响的，所以使用定积分定义进行计算。

首先需要先提取出一个 $\frac{1}{n}$ 出来。

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n^2+1}{n^3+1^3}+\frac{n^2+2}{n^3+2^3}+\dots \dots +\frac{n^2+n}{n^3+n^3})\\ \to & \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2}{n^3}(\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1^3}{n^3}}+\frac{1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{2^3}{n^3}}+\dots \dots +\frac{1+\frac{n}{n^2}}{1+\frac{n^3}{n^3}})\\ & \text{这个地方通过观察是不满足}f\left(\frac{i}{n}\right)\text{的，所以将分子进行}\\ & \text{放缩成}(1+\frac{1}{n^2})\text{，之所以这样放缩不会影响，核心在于}\\ & \text{最大的那一项}(1+\frac{n}{n^2})\text{放缩之后与原来的差值是}\frac{n-1}{n^2}\\ & \text{由于}n\to +\mathrm{\infty }\text{所以依然是无穷小，不产生影响。}\\ \to & {\int }_0^1\frac{1+x^2}{1+x^3}dx\\ & \text{就是这个积分不好算。}\end{array}$$

例题一

计算极限

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}$$

求解：

$$\begin{array}{c}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}\\ \mathrm{原}\mathrm{式}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(n^2+j^2)}\\ \mathrm{很}\mathrm{明}\mathrm{显}\mathrm{后}\mathrm{面}\mathrm{哪}\mathrm{个}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{多}\mathrm{乘}\mathrm{一}\mathrm{个}{n}^2，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{在}\mathrm{前}\mathrm{面}\mathrm{除}\mathrm{一}\mathrm{个}{n}^2\\ \begin{array}{rl}\mathrm{原}\mathrm{式}& =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\times \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(\frac{n^2+j^2}{n^2})}\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\times \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(1+(\frac{j}{n}{)}^2)}\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\times \sum _{i=1}^n\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\times \frac{1}{n}\times \sum _{j=1}^n\frac{1}{1+(\frac{j}{n}{)}^2}\\ \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{公}\mathrm{式}，\mathrm{得}\mathrm{到}& ={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx\times {\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\\ \mathrm{进}\mathrm{而}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{结}\mathrm{果}& =\ln (1+x){|}_0^1\times \arctan (x){|}_0^1\\ & =\frac{\pi }{4}\ln 2\end{array}\end{array}$$

例题二

题目：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(\sqrt{1-\cos \frac{2\pi }{n}}+\sqrt{1-\cos \frac{4\pi }{n}}+\cdots +\sqrt{1-\cos \frac{2n\pi }{n}})$$

还是利用我们的定积分定义，想办法去凑我们的公式

同时注意到上面公式中的$\sqrt{1-\cos \frac{2\pi }{n}}+\sqrt{1-\cos \frac{4\pi }{n}}+\cdots +\sqrt{1-\cos \frac{2n\pi }{n}}$，可以从中找到规律，替换成下面公式的样子：

$$\sum _{k=1}^n\sqrt{1-\cos 2\frac{k\pi }{n}}$$

就这样，我们替换出了最终公式：

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1-\cos 2\frac{k\pi }{n}}& ={\int }_0^1\sqrt{1-\cos 2\pi x}dx\\ \text{然后使用二倍角公式:}(\frac{1-\cos 2x}{2}={\sin }^{2}x)& ={\int }_0^1\sqrt{2{\sin }^2\pi x}dx\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^1\sin \pi xdx\\ & =\sqrt{2}\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin \pi xd\pi x\\ & =\sqrt{2}\frac{1}{\pi }(-\cos x{|}_0^{\pi })\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{\pi }\end{array}$$

NOTE

需要注意的是，类似于上面题目中的带有省略号的题目，需要注意去找到规律，然后去做题

例题三

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\sin \frac{i}{n}$$

很明显通过定积分定义，得到：

$$\begin{array}{rl}\text{原式}& ={\int }_0^{1}x\sin xdx\\ \text{这个的求解需要用到 反对幂指三 的顺序去 分部积分}& ={\int }_0^{1}xd(-\cos x)\\ & =(x(-\cos x)){|}_0^1-{\int }_0^{1}1\times (-\cos x)dx\\ & =-\cos 1+\sin x{|}_0^1\\ & =\sin 1-\cos 1\end{array}$$

NOTE

这个地方的重点在于 分部积分法 ,按照 反对幂指三 的顺序从左到右的级别，级别高的作为$\mu$

分部积分的公式：

$$\int \mu dv=\mu v-\int vd\mu$$

例题四

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$$

两种方法：

1. 斯特林公式

2. 定积分公式

3. 几何意义法

一：

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{\frac{1}{n}\ln n!}}{n}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{\frac{1}{n}}}{}\end{array}$$

二 ：

$$\begin{array}{rl}\text{原式}& =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n!}{n^n}\right)}^{\frac{1}{n}}\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n}\cdots \frac{n}{n})}^{\frac{1}{n}}\\ & =e^{\frac{1}{n}\ln (\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdots \frac{n}{n})}\\ & =e^{\frac{\ln \frac{1}{n}+\ln \frac{2}{n}+\cdot \ln \frac{n}{n}}{n}}\\ & =e^{{\int }_0^1\ln xdx}\\ & =e^{(x\ln x-x){|}_{x=1}-\underset{n\to 0^{+}}{lim}(x\ln x-x)}\\ & =e^{-1-0}\\ & =\frac{1}{e}\end{array}$$

需要注意的地方就是，当遇到$\frac{n!}{n^n}$的时候，需要多注意，这个可以拆开。

三：

暂时略...

贡献者

王海平

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c207a-笔记上传:2025-12-14 15:27:09