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一些不知道放哪，但是需要注意的问题

重点题目

1800：

P 12 T 6 （上）, P 12 T 1，P 12 T 7（下），P 16 T 4 （下），P 17 T 5（上），

其他注意事项

1. 条件极值中经常性开根号，要注意根号下有正负（看定义域）
2. 二重积分在计算过程中，如果可以变换积分顺序，可以只变换被积函数中的一部分。例如： ${\int }_0^{1}dy{\int }_y^1(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2})dx$
3. 在用积分计算面积或者体积的时候，需要注意面积和体积没有负值。所以如果是在坐标轴的左侧，也就是负半轴，在常规计算完积分之后需要加一个负号。或者如果 $y$ 是正值，就用 $y$ 。简化计算

间断点一些常见分析情况

$\ln |x|$ ， $x=1$ 为其间断点。注意，当 $x\to 1^{-}$ 的时候， $\ln |x|\to 0^{-}<0$ ，当 $x\to 1^{+}$ ， $\ln |x|\to 0^{+}>0$

$\arctan \left(\frac{1}{x}\right)$ ， $x=0$ 为其间断点。当 $x\to 0^{+}$ ， $\arctan \left(\frac{1}{x}\right)\to \frac{\pi }{2}$ ，当 $x\to 0^{-}$ ， $\arctan x\to -\frac{\pi }{2}$

#TODO

反函数与复合函数

对于函数 $f(x)$ 和它的反函数 $f^{-1}(x)$ ，满足 $f(f^{-1}(y))=y$ ， $f^{-1}(f(x))=x$

同时，反函数具备与原函数相同的单调性

NOTE

注意，上面不是倒数的意思。

比如： $y=x^2+\ln x$ ，求其反函数应该是： $x=y^2+\ln y$ 。

然后再求出 $y=f(x)$

积分比较大小

这类题目考的比较常见。

比较大小一般有两种方法，一种是直接将这个积分计算出来，对积分值进行比较。另外一种是相减，判断大于还是小于 $0$

如果遇到 $\cos x$ 和 $\sin x$ 进行比较，则应当将积分区域变换到 $0\sim \frac{\pi }{4}$ 上，因为在这个区域内， $\cos x>\sin x$ ，这样就可以进行比较

无限延长（循环）曲线求体积

首先要看定义域，比较常见的有： $\sqrt{\sin x}$ 、 $\sqrt{\cos x}$ 。

$\sqrt{\sin x}$ 的定义域是 $2n\pi \sim (2n+1)\pi n=0,1,2,\cdots$

因为定义域改变了，所以其积分上下限就变了。

但是此时的积分上下限还是带有 $n$ 的，所以这个时候要进行换元，将积分上下限中的 $n$ 给去掉。

积分中出现极限

当积分中出现极限的时候，要先将极限计算出来，将极限给去掉，当然这个时候要注意积分的上下限问题。

同时，还要注意正、负问题。

求极限（二元函数）出现震荡函数

当在求极限的时候遇到 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \frac{1}{x}$ 时，要考虑到夹逼准则。

例如：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\sin \frac{1}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ \\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在判断其连续的时候，要考虑使用夹逼准则。

$$\underset{x\to 0,y{\to }_0}{lim}\sin \frac{1}{x^2+y^2}\text{是震荡的}$$

所以直接去掉不用管。

通过夹逼得到：

$$0\le \underset{x\to 0,y{\to }_0}{lim}|f(x,y)|\le |xy|$$

进而得到从极限为 $0$

在多元函数中判断 f 仅为 b 和 c 的函数

这种类型的题目不多，但是有。

$f=f(x,y,z)$ ，其中 $x=x(a,b,c)$ ， $y=y(a,c)$ ， $z=z(b,c)$ ，想要判断 f 仅是 $b$ 和 $c$ 的函数，只需要计算 $\frac{\partial f}{\partial a}=0$ 即可。

直接用例题来说明：

1800 P 92 T 13

设 $u=u(x,y,z)$ 连续可偏导，令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array}$ 。

若 $x\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+y\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+z\cdot \frac{\partial u}{\partial z}=0$ ，证明： $u$ 仅为 $\theta$ 和 $\phi$ 的函数

解：

只需要证明 $\frac{\partial u}{\partial r}=0$ 即可。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial r}& =\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial r}\\ & =\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \cos \theta \sin \phi +\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \sin \theta \cos \phi +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \phi \\ & =\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{x}{r}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{y}{r}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{z}{r}\\ & =\frac{1}{r}\cdot (\frac{\partial u}{\partial x}\cdot x+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot y+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot z)\\ & =0\end{array}$$

上面第二行其实是将其反带入，将求导得到 $\cos \theta \sin \phi$ 利用 $x=r\cos \theta \sin \phi$ 使其等于 $\frac{x}{r}$

这种题目一般都需要取巧

在已知一阶导的情况下求二阶导

除了可以使用求导计算的时候，针对抽象导数使用下面的方法：

已知 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial u}{\partial y}$ ：

则：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^2$$$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}$$$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=(\frac{\partial u}{\partial y}{)}^2$$

前面即使有系数也无所谓。

多元函数下求原函数

大部分都是二元函数下求解。

一般可以使用积分一步步推导出来。

有时候当出现微分方程形式的时候（二阶线性或者非线性），需要使用解微分方程的方法来计算。

函数奇偶性判断

复合函数判断

条件	结论	解释
$f$ 奇， $g$ 奇	$f(g(x))$ 为奇函数	$f\left(g(-x)\right)=-f\left(g\left(x\right)\right)$
$f$ 偶， $g$ 偶	$f(g(x))$ 为偶函数	$f\left(g(-x)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$
$f$ 偶， $g$ 奇	$f(g(x))$ 为偶函数	$f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))$
$f$ 奇， $g$ 偶	$f(g(x))$ 为不一定	一般不能判断奇偶性，需具体代入

函数相乘判断

$f(x)$	$g(x)$	$f(x)\cdot g(x)$
偶	偶	偶
奇	奇	偶
奇	偶	奇
偶	奇	奇
任意	非奇非偶	非奇非偶
非奇非偶	非奇非偶	不一定

NOTE

这里可以理解为奇为 $1$ ，偶为 $0$ ，相乘就是异或

奇函数积分与偶函数积分

IMPORTANT

在对称区间上，对奇函数求积分得到的结果为 $0$

$${\int }_0^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}$$$${\int }_a^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}(a\ne 0)$$$${\int }_0^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{奇}$$$${\int }_a^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{为}\mathrm{偶}(a\ne 0)$$

NOTE

如果上限不是 $x$ ，是其他的函数。

则可以求 $f^{\prime }(x)$ 的导数，然后再利用导数与原函数奇偶性之间的关系。

导数与原函数的奇偶性

1. 奇函数的导数为偶函数
2. 偶函数的导数为奇函数

反之：

导数为偶函数，原函数为奇函数（要求 $f(0)=0$ ）

导数为奇函数，原函数为偶函数（要求 $f(0)=0$ ）

反三角函数与三角函数的复合函数

先正后反

$$\sin (\arcsin x)$$

只有当 $x\in [-1,1]$ 上的时候才有含义。

其值为： $\sin (\arcsin x)=x$

$$\tan (\arctan x)$$

其值域为 $R$

其值为： $\tan (\arctan x)=x$

$$\cos (\arccos x)$$

只有当 $x\in [-1,1]$ 上的时候才有含义。

其值为： $\cos (\arccos x)=x$

先反后正

$$\arcsin (\sin x)$$

这个相对来说比较常见。

当 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ ， $\arcsin (\sin x)=x$

当 $x\in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$ ， $\arcsin (\sin x)=x-\pi$

当 $x\in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ ， $\arcsin (\sin x)=x-2\pi$

大部分情况都是在 $0\sim \frac{3\pi }{2}$ 上。

$$\arctan (\tan x)$$

当 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ ， $\arctan (\tan x)=x$

当 $x\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ ， $\arctan (\tan x)=\pi -x$

当 $x\in (\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ ， $\arctan (\tan x)=x-2\pi$

$$\arccos (\cos x)$$

当 $x\in [0,\pi ]$ ， $\arccos (\cos x)=x$

当 $x\in [\pi ,2\pi ]$ ， $\arccos (\cos x)=2\pi -x$

二重积分下求体积

这类题目的特点是一般说求某平面图形在一立体图形上截取部分的体积。

IMPORTANT

一般被截取的图形的函数为： $f(x,y,z)=R$

一般设为 $z=g(x,y,R)$ 作为被积函数。积分区域为某平面图形。

同时，在计算的时候，要注意奇偶性与对称性。因为大部分都是对称的，可以简化计算。

函数中包含积分并求此函数问题

无论是在一重积分还是在二重积分中，此类问题都有出现。

下面以一个二重积分为例：

880 P 52 T (14)

设 $D:x^2+y^2\le 4$ ， $X\ge 0$ ， $Y\ge 0$ ， $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，且：

$$f(x,y)=(x^2+y^2-x+y-1)+{\iint }_{D}f(u,v)dudv$$

求 $f(x,y)$

方法就是设 ${\iint }_{D}f(u,v)dudv=A$ ，原因很明显，无论是二重积分还是一重积分，只要是定积分，其结果一定是一个固定的值。

然后对等式两边分别求积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_D(x^2+y^2-x+y-1)dxdy+{\iint }_{D}Adxdy$$

那么就可以得到：

$$A={\iint }_D(x^2+y^2-x+y-1)dxdy+A\cdot S_D$$

然后计算出上面的积分即可，其中 $S_D$ 代表积分区域的面积。

一重积分同理。

不等式中包含积分（不等式与导数）

当遇到不等式的时候，应该考虑结合起来利用导数来求解。

NOTE

当不等式中包含积分的时候，求解方法依然是结合起来构成大 $F$ ，然后求导。

在构造大 $F$ 的时候，如果包含定积分，习惯上将积分上限设置为大 $F$ 的变量，目的是为了方便求导。

通过微分方程求原函数

与直接解微分方程不一样，主要是与其他知识点结合，比如在含有变限积分的方程（如下面的方程）中求原函数

$$F(f(x),{\int }_0^{x}f(x)dx)$$

这部分应该与上面的“不等式中包含积分”结合起来看待。

求原函数问题

此类问题一般有：

1. 积分求解
2. 导数定义反解
3. 微分方程

甚至于说，很大的概率会将这几个部分结合起来。

NOTE

当某些函数如果满足：对任意 $x$ ， $y$ ，恒有 $f(x+y)=H$ ， $f(xy)=H$ ， $f(x)-f(y)=H$ ，往往需要将这些特点代入到导数的定义： $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 或者 $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ，从而得到微分方程，然后求解。

等差数列和等比数列

等差数列求和：

$$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$

首项加末项，乘以项数除以 $2$ 。

等比数列求和：

$$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$

NOTE

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，且 $|q|<1$ ，则 $S_n=\frac{a_1}{1-q}$ （无穷级数）

导数的定义判断是否可导

以 $y=|x|$ 为例，用导数的定义进行判断：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(0+x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|-0}{x}$$

这时候由于 $|x|$ 在原点的左右两侧结果不相同。

所以 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|x|-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x-0}{x}=1$ 。

而 $\underset{x\to 0_{-}}{lim}\frac{|x|-0}{x}=\underset{x\to 0_{-}}{lim}\frac{-x-0}{x}=-1$ 。

故，两边的导数值不相同。故在 $x=0$ 处的导数不存在

隐函数求导

隐函数求导中，要记得构造大 $F$ ，然后相当于求偏导数。

此外，如果不构造，要记得 $y$ 是 $x$ 的一个函数： $y=f(x)$

例如：

$$\begin{array}{r}{x}^2+e^{xy}+\ln x+\tan y=7\end{array}$$

求导之后得到：

$$\begin{array}{r}2x+e^{xy}(y+x{y}^{\prime })+\frac{1}{x}+{\sec }^{2}y\cdot y^{\prime }=0\end{array}$$

法线的斜率

$$K_1=-\frac{1}{K}$$

其中 $K$ 为切线的斜率

快速抓大头

抓大头直接得到结果：

$$n^n>n!>a^n>n^a>n>\sqrt{n}>\ln n(a>1,n>+\mathrm{\infty })$$

$n$ 次根号下累加的性质

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}\text{其中}{a}_i>0,i=1,2,\cdots ,n$$

例题：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{|x|}^{3n}}\text{求}f(x)\text{在何处不可导}$$$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+|x{|}^{3n}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{\left(|x{|}^3\right)}^n}\\ & =max\{1,|x{|}^3\}\end{array}$$

这个函数的图像如下：

可以很轻松的得到 $f(x)$ 在 $-1$ 和 $1$ 处不可导。

指数相乘三角函数的快速求积分

这个是对于指数相乘三角函数的快速求积分的方法

$$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|+c$$$$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\cos bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \cos bx\end{array}\right|+c$$

需要注意的是，核心是计算这个行列式。

$f(x)=x\cdot \ln x$

$$f(x)=x\cdot \ln x$$

需要记忆这个函数的图像。

$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

记忆

$$g(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

的有关性质。

1、 $g(x)$ 是一个奇函数

2、

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

3、

$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+c$$

这个公式的推导来自于基本积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

4、

等价无穷小，这个有时候用的挺多的

$$\ln (x+\sqrt{x^2+1})\sim x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

一般只用到前两项，如果还有必要，做题遇到再说，因为这个函数的导数不是很好求，不过依然可以用泰勒展开求解。

关于 $\sqrt[n]{n}$ 的一些性质

1、$\sqrt[n]{n}$ 的最大值是 $\sqrt[3]{3}$

2、$\sqrt[x]{x}$ 的最大值是 $\sqrt[e]{e}$

3、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{A}=1$$

4、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}(k_i\le n)(a_i>0)$$

导数与原式同时出现

如果 $f^{\prime }(x)$ 和 $f(x)$ 同时出现，那么需要考虑两种情况。

第一个，考虑拉格朗日中值定理

$$f(x)-f(a)=f^{\prime }(\xi )\cdot (x-a)\xi \in (a,x)$$

第二个，考虑积分

$$f(x)-f(a)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$$

积分、连续、可导之间的关系

连续不一定可导，可导一定连续

不连续一定不可导

设 $F(x)={\int }_a^{x}f(x)dx$ ，若 $f(x)$ 可积，则 $F(x)$ 连续；若 $f(x)$ 连续， $F(x)$ 可导。

换句话说，如果能都能写出积分公式，则一定可积。而 $f(x)$ 连续则需要在间断点处进行判断是否连续

例如：

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& 0\le x<\pi \\ 2& \pi \le x\le 2\pi & \end{array}$ ， $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ ，则：

因为已经写出了积分公式，所以其肯定是连续的，而在 $\pi$ 这个点上是 $f(x)$ 的第二类间断点。

直接就可以得到： $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处是连续且不可导的

---

现在还有一种经常出现问题的结论：

但凡涉及到在某个点处（在某个点的邻域内）的导数大于 $0$ ，或者小于 $0$ ，都是不能推断出该函数在这个点的附近是单调增或者单调减的

NOTE

只要是涉及到某个点处（或者某个点的邻域内）的问题，都要格外注意。

$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right)$

导数的应用

这部分在导数的应用中详细介绍。

核心就是理解零点定理、单调性和极值问题。

导数与拐点极值的问题

IMPORTANT

若 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$ ，则 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

IMPORTANT

若 $f^{\prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ ，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极小值点

若 $f^{\prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ ，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极大值点

IMPORTANT

反过来说，若 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点，且 $f^{\prime \prime }(x)$ 存在，则 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 。

其中，当二阶导数小于 0（ $y^{\prime \prime }<0$ ）为凸区间

二阶导数大于 0（ $y^{\prime \prime }>0$ ）为凹区间

IMPORTANT

在大题中，找极值点的时候

要明确，极值点包括导数不存在的点

极值点：

在函数连续的情况下，在极值点左右的一阶导数异号，即使在此点处导数不存在

例子： $y=|x|$

若函数在该点不连续（比如跳跃、无界），就不能称为极值点。

IMPORTANT

在大题中，找拐点的时候

要明确，拐点包括二阶导数不存在（甚至一阶导数不存在） 的点

拐点：

在函数连续的情况下，在拐点左右的二阶导数异号，即使在此点处二阶导数甚至一阶导数不存在。

判断方程根的个数

IMPORTANT

若 $f^{(n)}(x)\ne 0$ ，则 $f(x)=0$ 至多有 $n$ 个不同根

NOTE

主要思想是利用导数，求出来单调区间以及极值点，根据单调区间与极值点以及单调区间上的极限值。

例如：已知 $x=1$ 为极大值， $f(1)>0$ ，且在 $-\mathrm{\infty }\to 1$ 单调增， $1\to +\mathrm{\infty }$ 单调减。

如果要判断根的个数，只知道单调性是不够的，还需要利用介值定理： 当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 的时候，若 $f(x)<0$ ，那么可以知道在此区间内有一个根。

但如果当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的时候，若 $f(x)>0$ ，那么由于两个端点都是大于 $0$ 的，那么在此区间内就没有根

当在使用零点定理的时候，需要注意，判断有根和判断有唯一根是不一样的，如果只是有根，那直接零点定理即可，如果是有唯一根，只用零点定理是不够的，还需要结合单调性，如果在区间内单调且有根，则为唯一根

参数方程求导

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

反函数求导问题

$y=f(x)$ ， $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ ， $y^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(y^{\prime })}{dx}$

然后是反函数：

一阶导：

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }}=\frac{dx}{dy}$$

二阶导：

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}x}{d{y}^2}& =\frac{d\left(\frac{1}{y^{\prime }}\right)}{dy}\\ & =-\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}\frac{d(y^{\prime })}{dy}\\ & =-\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{d(y^{\prime })}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}\\ & =-\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}\cdot y^{\prime \prime }\cdot \frac{1}{y^{\prime }}\\ & =-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}\end{array}$$

高阶导数问题

首先是五个公式：

$$\begin{array}{r}{\left(e^{ax+b}\right)}^{(n)}=a^n{e}^{ax+b}\end{array}$$$$\begin{array}{r}{[\sin (ax+b)]}^{(n)}=a^n\sin (ax+b+\frac{n\pi }{2})\end{array}$$$$\begin{array}{r}{[\cos (ax+b)]}^{(n)}=a^n\cos (ax+b+\frac{n\pi }{2})\end{array}$$$$\begin{array}{r}{\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^n{a}^{n}n!}{(ax+b{)}^{n+1}}\end{array}$$$$\begin{array}{r}{[\ln (ax+b)]}^{(n)}=\frac{{(-1)}^{n-1}{a}^n(n-1)!}{{(ax+b)}^n}\end{array}$$

后面两个用的比较多，利用的主要是数学归纳法。将高阶导数之间的规律整理出来。

如果忘了公式是什么，在推到的过程中，主要不要将前面得到的系数乘起来，先在哪里放着，方便找规律。

比如：

$$y=\frac{1}{2x+3}，\mathrm{求}{y}^{(n)}(0)$$$$y^{\prime }(x)=(-1)(2x+3{)}^{-2}\cdot 2$$$$y^{\prime \prime }(x)=(-1)\cdot (-2)\cdot (2x+3{)}^{-3}\cdot 2^2$$$$y^{(3)}(x)=(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (2x+3{)}^{-4}\cdot 2^3$$

这样规律很自然的就能得到。

当然还可以使用莱布尼兹引理：

$$(\mu v{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\mu }^k{v}^{(n-k)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\mu }^{(n-k)}{v}^k$$

除此之外，有一些求导数，可以使用泰勒展开。利用泰勒公式与高阶导数之间的关系。

形如：

$$\begin{array}{r}f(x)=(x-a{)}^n\phi (x)\end{array}$$

求 $f^{(n)}(a)$ 。

利用泰勒展开可以直接得到：

$$\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=\phi (a)$$

原理是将 $f(x)$ 在 $x=a$ 处泰勒展开，刚好可以把 $(x-a{)}^n$ 消除掉。

常见导数中的构造问题

做差

无论是在高考还是考研中，都很难处理两个函数的问题，比如 $x^2=e^x$ 。

一般都要转换成一个函数来处理。

方法一般为做差

导数与原函数之间的构造问题

一般来说，只要题目中提供了导数与原函数之间的等数关系

那么接下来就是要考虑使用构造函数的公式：

若欲证结论为" $\mathrm{\exists }\delta \in (a,b)$ 使得， $f^{\prime }(\delta )+f(\delta )g(\delta )=0$ "，这个时候，可以设置辅助函数为 $F(x)=f(x)\cdot e^{\int g(x)dx}$ ，然后对 $F(x)$ 使用罗尔定理，得到 $F^{\prime }(\delta )=0$ ，化简既可以得到 $f^{\prime }+f(\delta )g(\delta )=0$

其他常见的构造函数

比如遇到 $f(xy)=f(x)+f(y)$ ，则构造原函数为 $f(x)=\ln x$

比如遇到 $f(x+y)=f(x)f(y)$ ，则构造原函数为 $f(x)=e^x$

对于遇到： $\frac{f(a)-f(x)}{g(x)-g(b)}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ ，整理可得： $f^{\prime }(x)g(b)+f(a)g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)=0$ ，可以得辅助函数： $F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)$

常见函数的极限

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=0$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=-1$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$$

例题：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x$$

这里需要分左右极限来处理。

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ \Rightarrow & -1\cdot \frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ & \Rightarrow 1\cdot -\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

全微分方程

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

其中 $z=f(x,y)$

反常积分的敛散性

$${\int }_a^b\frac{1}{{(x-a)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p\ge 1,& \text{发散}\end{array}$$

$${\int }_a^b\frac{1}{{(b-x)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p⩾1,& \text{发散}\end{array}$$

3. $${\int }_0^1{x}^p|\ln x{|}^{q}dx({\int }_0^1(1-x{)}^p|\ln (1-x){|}^{q}dx)$$

   当 $p>-1$ ， $q>-1$ 的时候收敛

$$\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p{\ln }^{q}n}$$

当 1. $p>1$ 或 2. $p=1$ ，且 $q>1$ 的时候收敛

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p{\ln }^{q}x}dx(a>1)$$

当 $p>1$ 的时候收敛，当 $p=1$ ， $q>1$ 的时候收敛

$$\int \frac{1}{x^{\alpha }{\ln }^{\alpha }x}dx$$

当 $x\to 0$ ， $\alpha <1$ 或者 $\alpha =1$ ， $\beta >1$ 的时候收敛

当 $x\to \mathrm{\infty }$ ， $\alpha >1$ 或者 $\alpha =1$ ， $\beta >1$ 的时候收敛

三步走和四步走

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+e^{nx}}{1+e^{nx}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{1+x}{2}& x=0\\ 1& x>0\\ x+1& x<0\end{array}$$

核心在于将 $f(x)$ 中的 $n$ 去掉。

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ 0& x=-1\\ 1+x& |x|<1\\ 0& |x|>1.\end{array}$$

关键是在于要学会对 $f(x)$ 进行分析。

上面在 $x=1$ 的时候，之所以等于 $1$ ，原因在于它是绝对的 $1$ ，而不是重要极限中的 $1+\frac{1}{\mathrm{\infty }}\to 1^{+}$ 。

三角函数与反三角函数以及导数

首先是三角函数：

三角函数求导不再赘述，至于后面复杂的三角函数，之间换回到简单三角函数即可。

然后是反三角函数：

反三角函数的求导在下面：

三角恒等变换相关公式

积化和差以及和差化积公式

$$\begin{array}{c}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \cot \alpha +\cot \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \cot \alpha -\cot \beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha +\cot \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha -\cot \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\end{array}$$

记忆口诀： 正加正，正在前， 余加余，余并肩。 正减正，余在前， 余减余，负正弦。

积化和差公式：

$$\begin{array}{c}\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

记忆口诀： 积化和差得和差， 余弦在后要相加； 异名函数取正弦， 正弦相乘取负号。

和差角公式

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha$$$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

六边形关系

其中有三组关系：

• 边上的三角函数两边相乘等于中间
• 染了色的三角形上面两个三角函数的平方和等于下面的
• 相对的三角函数是倒数关系

二倍角公式

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$$${\sin }^{2}2\alpha =4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$$$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

三倍角公式

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha {\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha$$$$\cos 3\alpha ={\cos }^3\alpha -3{\sin }^2\alpha \cos \alpha$$

半角公式

注意，具体需要符号看象限

$$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$$$$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$$$$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$$$$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

降幂公式

$$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2}$$$${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$$${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$$

辅助角公式

$$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )=\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta -\phi )$$

其中， $\tan \phi =\frac{b}{a}$

常见的是： $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\cos (\theta -\frac{\pi }{4})$

点鞭炮公式

$$\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^n\theta =\prod _{i=0}^n\cos 2^i\theta =\frac{\sin 2^{n+1}\alpha }{2^{n+1}\sin \alpha }$$

万能公式

辅助记忆图：

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{{\sec }^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{{\sec }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\cot \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$$$$\sec \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$$$$\csc \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$$$$\tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$

切线方程

过 $P$ 点的切线方程为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

若过 $P$ 另有曲线 $C$ 的切线，切点为 $Q(b,f(b))$ ，则切线为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(b)(x-a)$$

曲率与曲率半径

曲率，主要是用到了与导数相关的知识。

曲率：

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{[1+(y^{\prime }{)}^2]}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K}$$

曲线渐近线问题

曲线的斜渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_1\text{且}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{1}x)=b_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_2\text{且}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{2}x)=b_2$$

上面公式中的 $k_1$、$b_1$ 是斜率和截距

利用泰勒展开求斜渐近线：

主要需要解决的问题是当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 或者 $x\to -\mathrm{\infty }$ 的时候，如何处理泰勒展开。

主要的思想是将 $x$ 处理成 $\frac{1}{x}$ ，这样就可以直接使用泰勒展开了。

例如 $\sqrt{x+1}$ 在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的泰勒展开是：

$$\begin{array}{rl}\sqrt{x+1}& =\sqrt{x}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x}}\\ & =\sqrt{x}\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}+\frac{-\frac{1}{4}}{2!}\cdot \frac{1}{x^2}+\cdots )\\ & =\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{x^{1.5}}+\cdots \end{array}$$

知道了如何处理泰勒展开，下面就是求斜渐近线：

只要当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，泰勒展开能得到：

$$f(x)=ax+b+o(1)=x(a+\frac{b}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right))$$

其中的 $y=ax+b$ 就是 $f(x)$ 在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 上的斜渐近线。

$x\to -\mathrm{\infty }$ 同理。

下面用一个例题来说明：

求 $y=x\cdot \ln (e+\frac{1}{x})x>0$ 的斜渐近线。

$$\begin{array}{rl}y& =x\cdot \ln (e+\frac{1}{x})\\ & =x\cdot (\ln e+\ln (1+\frac{1}{ex}))\\ & =x\cdot (1+\ln (1+\frac{1}{ex}))\\ & =x\cdot (1+\frac{1}{ex}+o(1))\end{array}$$

所以斜渐近线为：

$$y=x+\frac{1}{e}$$

曲线的水平渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=c_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=c_2$$

当 $c_1\ne c_2$ 的时候有两条水平渐近线。

曲线的垂直渐近线

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\text{或者}\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

$x=x_0$ 的时候，为垂直渐近线。

渐进线的极限存在问题

直接上例题：

设 $f(x)$ 为连续函数，且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x[1+x+f(x)]$ 存在，则曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线是：

主要看，在上面的这个极限中，极限值是存在的，但是很明显，当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的时候， $e^x$ 也是 $\to +\mathrm{\infty }$ 的。然而这个极限依然存在，所以本质上后面的 $[1+x+f(x)]$ 在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的时候是趋于 0 的。

那么变换一下就可以得到：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}1+x+f(x)\to 0$$$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)\to -x-1$$

所以 $f(x)$ 有斜渐近线为 $y=-x-1$

IMPORTANT

注意，斜渐近线一定是斜着的

中值定理

罗尔中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导， $f(a)=f(b)$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理

1. 若 $f(x)$ $g(x)$ 都在 $[a,b]$ 上连续，都在 $(a,b)$ 上可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ . 使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$
2. 当 $g(x)=x$ 时 : 柯西 $\to$ 拉格朗日

泰勒中值定理

如果函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间 $(a,b)$ 内有直到 $n+1$ 阶导数，则对任一点 $x_0\in (a,b)$ ，有：

$$\begin{array}{rl}f(x)=& f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\\ & \frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\\ & \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}\end{array}$$

积分中值定理

设函数 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$ ，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$ 。

中值定理的构造问题

若欲证结论为" $\mathrm{\exists }\delta \in (a,b)$ 使得， $f^{\prime }(\delta )+f(\delta )g(\delta )=0$ "，这个时候，可以设置辅助函数为 $F(x)=f(x)\cdot e^{\int g(x)dx}$ ，然后对 $F(x)$ 使用罗尔定理，得到 $F^{\prime }(\delta )=0$ ，化简既可以得到 $f^{\prime }+f(\delta )g(\delta )=0$

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系， $A\beta \ne 0$ ，此外， $B=(\beta ,\beta +{\alpha }_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_s)$ ，为什么 $B$ 是线性无关的

二重积分中值定理

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta ){\iint }_{D}d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma =f(\xi ,\eta )\cdot S_D$$$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\int }_0^{x^2}dt{\int }_x^{\sqrt{t}}f(t,u)du}{1-e^{\frac{x^4}{4}}}\end{array}$$

欧拉公式

$$sin\theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}$$$$cos\theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}$$$$e^{j\theta }=cos\theta +j\times sin\theta$$

泰勒公式的一些应用

首当其冲的就是求极限

这个就不多讲了，不过需要注意的是，一般上来讲，是 $x\to 0$ 的才行，还有就是可以多展开几项更加准确。

其次，就是泰勒公式与高阶导数之间的关系

这里不再赘述。

这里主要是说明泰勒公式在求和方面的应用。（或许未来会整理到一个单独的文件中。）

注意到常见的泰勒展开式前面是有系数的。

也就是说，当涉及到"系数"相加的情况，可以考虑泰勒公式。

例如下面这两个例子：

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2$$

这里主要用到了 $\ln (x+1)$ 的泰勒展开。

$$\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$$

令 $x=1$ 就可以得到上面的结果。

另外一个例子：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$$

这个是用到了 $e^x$ 的泰勒展开式。

$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

当 $x=1$ 的时候，与上式相等。

以此类推，可能会有 $\sin (1)$、$\cos (1)$ 之类的东西出现。

一些积分相关的东西

$$({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin (2x)$$

基本积分公式

$$\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{(\alpha +1)}+C(\alpha \ne -1)$$$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$$$$\int e^{x}dx=e^x+C$$$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$$$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$$$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$$$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C$$$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{1}{a^2+b^2{x}^2}dx=\frac{1}{ab}\arctan \left(\frac{bx}{a}\right)+C$$

如果将 $bx$ 看做是 $x$ ，注意还要换元。

$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$$$$\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

下面补充积分：

$$\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\ln |\tan x|+C$$

下面这俩个积分如果不背下来的话，也可以考虑分部积分法来构成循环积分来求解。

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$$$$\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\pm \frac{a^2}{2}\ln (x+\sqrt{x^2\pm a^2})+\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}+C$$

比较常用的三角变换：

$${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$$$${\tan }^{\prime }x={\sec }^{2}x$$$${\sec }^{\prime }x=\sec x\cdot \tan x$$$$arcsecx=\arcsin \frac{1}{x}$$$$\sin 2x=2\sin x\cos x=({\sin }^{2}x{)}^{\prime }$$

积分中含有根号的问题

1. 首先考虑上面的三角变换，变换到基本积分公式（看上面即可）

2. 然后是考虑图像，有时候针对根号下积分的问题用圆或者椭圆的面积来解决

3. 考虑直接令根号下全部等于 $u$ ，进行换元计算，也是凑微分的一种方法

4. 其他待补充

齐次式（三角函数）的积分

$$\begin{array}{r}\int \frac{dx}{\alpha +\beta {\sin }^{2}x}=\frac{1}{\sqrt{\alpha (\alpha +\beta )}}\arctan (\tan x\sqrt{\frac{\alpha +\beta }{\alpha }})+C(\alpha >0)\end{array}$$$$\int \frac{1}{{\alpha }^2-{\sin }^{2}x}dx$$

变限积分

变上限积分的无穷小问题

$${\int }_0^{x^n}{t}^{m}dt\mathrm{是}x\text{的}(m+1)\cdot n\text{阶无穷小}$$

例题：

$$x\to 0\text{时，}{\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt\text{是}x\text{的几阶无穷小}$$$${\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt={\int }_0^{x^3}{t}^{4}dt$$

根据上面的公式，得到原式是 $x$ 的 $(4+1)\times 3=15$ 阶无穷小。

变限积分求导问题

$$I(x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$$$I^{\prime }(x)=f(v(x))\cdot v^{\prime }(x)-f(u(x))\cdot u^{\prime }u(x)$$

此外，注意换元问题。如果是被积函数的主体是一个抽象函数，例如： $f(x-t)$ ，类似于这种的，都需要进行换元处理。

变限积分求导万能公式

$$\frac{d}{dx}{\int }_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt=f(x,b(x))\cdot b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\cdot a^{\prime }(x)+{\int }_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

有理函数的积分

细节在这：不定积分 - 有理函数的积分

IMPORTANT

分母的最高次幂大于分子的最高次幂，则称为真分式

分母的最高次幂小于等于分子的最高次幂，则称为假分式

在进行积分的过程中，要把假分式变换为真分式。

NOTE

遇到有理函数的积分，无论是定积分还是不定积分。

先判断是不是真分式：

如果不是，利用"除法"去化成真分式形式

再判断分母是不是不能再因式分解（拆项裂项）：

如果不能再因式分解，则将分子给“凑”出来，凑成 $\int \frac{1}{x}dx$ 的形式，常数项部分分母进行配方

如果都可以，则进行拆项列项。

NOTE

如果不是真分式，

这里需要判断，首先是分子分母的最高次幂是否相等，如果相等，则需要提出来一个 “1”，剩余的部分则化为了真分式，再按照上面的方法进行计算。

如果分子的最高次幂大于分母的最高次幂，则需要进行 “除法”，用列竖式的方式用分母除以分子，得到一个结果以及一个余项，或者没有余项。

对于分母：

$$(x+1{)}^2\text{要拆成}\frac{}{(x+1)}+\frac{}{(x+1{)}^2}\cdots$$

对于分子：

注意，分子的最高次幂比分母的核心部分低一次。关键理解核心： $(x^2+2x-2{)}^2$ 的核心是 $x^2+2x-2$

奇函数积分与偶函数积分

IMPORTANT

在对称区间上，对奇函数求积分得到的结果为 $0$

$${\int }_0^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}$$$${\int }_a^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}(a\ne 0)$$$${\int }_0^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{奇}$$$${\int }_a^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{为}\mathrm{偶}(a\ne 0)$$

柯西积分不等式

若 $f(x)、$ $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则有：

$${({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

形如 $\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx$

核心要义就是令分子 = A 分母+B 分母的导数

例如：

$$\int \frac{3\sin x-7\cos x}{2\sin x+9\cos x}dx$$

令 $3\sin x-7\cos x=A(2\sin x+9\cos x)+B(2\cos x-9\sin x)$

可有得到：

$$\{\begin{array}{l}3=2A-9B\\ -7=9A+2B& \end{array}$$

通过解方程，我们可以把 $A、B$ 求出来。

然后，就可以直接得到结果：

$$Ax+B\ln |2\sin x+9\cos x|+C$$

其实就是设分母为 $f(x)=c\sin x+d\cos x$ 。

则分子是： $Af(x)+B{f}^{\prime }(x)$

就可以得到：

$$\begin{array}{r}\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx=\int \frac{Af(x)+B{f}^{\prime }(x)}{f(x)}dx=Ax+B\ln |f(x)|+C,\end{array}$$

贝塔函数和伽马函数

贝塔函数

贝塔函数的定义是：

$$B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx(p>0,q>0)$$

贝塔函数性质

对称性：

$$B(p,q)=B(q,p)$$

特殊值：

$$B(1,1)=1$$$$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$$

与伽马函数之间的关系

$$B(p,q)=\frac{\mathrm{\Gamma }(p)\mathrm{\Gamma }(q)}{\mathrm{\Gamma }(p+q)}$$

用这个可以快速求积分。

伽马函数

伽马函数的定义如下：

$$\mathrm{\Gamma }(n)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{-x}dx(n>0)$$

其中，伽马函数具备以下这样的递推关系：

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$$

特别的是：

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!\text{当}n\text{为自然数的时候}$$

除此之外，伽马函数还有以下性质：

$$\mathrm{\Gamma }(1)=1$$$$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$$

半整数阶公式：

$$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }$$

定积分重要公式

奇零偶倍

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0& f(x)\text{为奇函数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx& f(x)\text{为偶函数}\end{array}$$

交换

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x,\cos x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x,\sin x)dx$$

推论一

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{ 为奇 }\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 为偶 }\end{array}$$

推论二

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$$

换限

$${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$$

$xf(x)$ 的变换

$${\int }_0^{\pi }x\cdot f(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$

周期函数

一、

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

二、

$${\int }_a^{a+nT}f(x)dx=n\cdot {\int }_0^{T}f(x)dx=n\cdot {\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

定积分物理应用

万有引力

$$F=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}$$

压强

$$P=\rho gh$$

其中 $\rho$ 是液体密度， $g$ 是引力常数， $h$ 是该点在液面下的深度。

做功

$$W=F\cdot s$$

恒定力沿着力的方向的位移。

$$W=F\cdot s\cdot \cos \theta$$

$\cos \theta$ 位移与力之前夹角的余弦值。

抽水做功

抽水做功本质上是将此质量的物体克服重力提升高度做功。

可以通过求质心位置，得到上升高度 $h$ 。

而重力 $G=mg$ ，其中 $m$ 为质量， $g$ 为重力常数。

进而 $W=F\cdot s=G\cdot h$

理论上来讲，质心一般比较容易得到，一般位于对称点上。

质心计算

$$\mathbf{\text{x 轴坐标：}}\begin{array}{r}\bar{x}=\frac{\int xdm}{M}\end{array}$$$$\mathbf{\text{y 轴坐标：}}\begin{array}{r}\bar{y}=\frac{\int ydm}{M}\end{array}$$$$\mathbf{\text{Z 轴坐标：}}\bar{z}=\frac{\int zdm}{M}$$

其中， $M$ 是整个物体的质量， $m=\rho \cdot V$ 。

$dm=\rho dV$ 。 $dV$ 是体积微元，一般是细杆，所以这里也就是长度微元。

定积分求体积

些许题目的可以使用传统的求体积的方法：

贴近 x 轴 y 轴求体积（截面法）

$y=g(x)$ 绕轴旋转一圈求体积

绕 x 轴旋转一周：

$$V_x{|}_a^b={\int }_a^b\pi f^2(x)dx$$

绕 y 轴旋转一周：

$$V_y{|}_c^d={\int }_c^d\pi g^2(y)dy$$

上面的公式适用于旋转体与 x 轴或 y 轴相近的情况，如果出现不相接触的情况用下面这个公式：

不贴近 x 轴 y 轴求体积（壳柱法）

绕 y 轴：

$$V_y={\int }_a^{b}2\pi x(y_1(x)-y_2(x))dx$$

绕 x 轴：

$$V_x={\int }_a^{b}2\pi y(x_1(y)-x_2(y))dy$$

IMPORTANT

注意，上面绕 x 轴公式中的 $x_1$ 和 $x_2$ 是关于 $y$ 的方程。

参数方程求体积

直接上方程

绕 x 轴：

$$V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{y}^2(\theta )d(x(\theta ))$$

绕 y 轴：

$$V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{x}^2(\theta )d(y(\theta ))$$

极坐标绕极轴的体积

$$V=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$$

除极坐标的通用方法

利用二重积分求解定积分体积问题。

任意图形绕任意轴旋转一周的体积，有公式：

$$V={\iint }_{D}2\pi P(x,y)dxdy$$

其中 $D$ 代表图形的限制范围

$P(x,y)$ 代表图形上任意一点 $(x,y)$ 到这条直线的距离，

直线距离公式 #点到直线距离公式 ：设直线方程为 $Ax+By+C=0$ ，点 $P(x_1,y_1)$ ，

$$D=\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

用语言描述就是，将这个点代入到这个方程中，然后除以方程系数平方和的开根号。

这么说不太好理解，来个例题：

求 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周的体积

根据上面的方法，可以直接列公式：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\cos x}2\pi (y)dy\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\pi y^2{|}_0^{\cos x}\right)dx\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\pi {\cos }^2(x))dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^2(x))dx\\ & =2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$$

上面就是利用二重积分求解体积。

不过需要注意的是，上面这个限制范围的 $x$ 是取值，而 $y$ 是函数的范围。

求 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 y 轴旋转一周的体积

依然是直接列公式：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\cos x}2\pi (x)dy\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2\pi xy{|}_0^{\cos x}\right)dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2\pi x\cos x)dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xd(\sin x)\\ & =2\pi (x\cdot \sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx)\\ & =2\pi (\frac{\pi }{2}+\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}})\\ & =2\pi (\frac{\pi }{2}-1)\end{array}$$

古尔丁定理（快速求体积）

平面上一区域内 $D$ 绕区域外同平面的一直线旋转一周得到的旋转体体积等于 $D$ 的面积乘以以 $D$ 的形心（几何中心）所经过的路程（圆周长）

NOTE

这个一般用于选择填空，大题不要用

例如下图：

此圆绕 $y=-1$ 旋转一周得到的体积为： $V=S\cdot 2\pi d=\pi R^2\cdot 2\pi \cdot (b+1)$

针对圆的一些方法

一般来说，有关于圆绕某直线旋转一周得到的体积可以使用上面的古尔丁定理。

但是，对于计算过程，还是很有必要的。

尤其是圆上 一部分 的旋转体积的求法。

在计算的过程中，将圆换成参数方程的方法将简化计算。

圆的参数方程：

圆心为 $(a,b)$ ，半径为 $r$ ，参数为 $\theta$ 。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta & & \end{array}(\theta \in [0,2\pi ))\end{array}$$

旋转曲面的侧面积问题

这里依然也是三种类型，分别是常见方程、参数方程、极坐标方程

通用方程：

$$\begin{array}{r}S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\left(r\right)ds\end{array}$$

这里针对的是一条曲线绕某一直线旋转之后得到的表面积。（只是在这条曲线上）。

其中， $r$ 代表从这个曲线上的一点，设为 $(x,y)$ ，到这条直线的距离。 #直线距离公式

$ds$ 代表的是弧长公式

$$ds=\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}$$

PS：如果是标准方程，那么 $x^{\prime }(t)=1$ ， $y(t)=y(x)$

而上下限是曲线的范围。如果是圆或者能用极坐标（参数方程）表示的，则是对应的范围。

例如计算圆绕 $y$ 轴的旋转曲面表面积为：

将圆换成参数方程： $x-2=\cos \theta$ ， $y=\sin \theta$

$$L=2\pi {\int }_{L}rds=2\pi {\int }_0^{2\pi }(2+\cos \theta )ds$$

其中 $ds=\sqrt{((2+\cos \theta {)}^{\prime }{)}^2+((\sin \theta {)}^{\prime }{)}^2}=1$

$$L=2\pi {\int }_0^{2\pi }(2+\cos )\theta \cdot 1d\theta$$

常见方程（直角坐标）

设曲线为：

$$y=f(x)a\le x\le b,f(x)\ge 0$$

则得到：

$$\begin{array}{r}S=2\pi {\int }_a^b\frac{|ax+bf(x)+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx\end{array}$$

参数方程

给出 $x(t)$ 、 $y(t)$ ，则有：

$$\begin{array}{r}S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt.\end{array}$$

极坐标形式

$$\begin{array}{r}S=2\pi {\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{|ar(\theta )\cos \theta +br(\theta )\sin \theta +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{r(\theta {)}^2+{(r^{\prime }(\theta ))}^2}d\theta .\end{array}$$

弧长问题

标准方程

对于 $L:y=f(x)$ ，其中 $(a\le x\le b)$

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

参数方程

对于 $L:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)& \end{array}$ ， $(\alpha \le t\le \beta )$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$$

极坐标方程

对于 $L:\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos (\theta )\\ y=r(\theta )\sin (\theta )\end{array}$ ，其中 $(\alpha \le \theta \le \beta )$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$$

圆

圆的标准方程：

在平面直角坐标系内，以 $(a,b)$ 为圆心，以 $r$ 为半径，圆的标准方程是：

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

圆的一般方程，也是在平面直角坐标系内。

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)$$

其中，

圆心：

$$(x,y)=(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$$

半径：

$$r=\left(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\right)$$

注意，若 $D^2+E^2-4F=0$ ，则表示，此方程为一个点，如果小于 0，则表示为一个虚圆（在虚轴上）。

参数方程：

圆心为 $(a,b)$ ，半径为 $r$ ，参数为 $\theta$ 。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta & & \end{array}(\theta \in [0,2\pi ))\end{array}$$

极坐标方程：

圆的半径为 $R$

圆心在极点处时候：

极坐标方程为：

$$\rho =r$$

圆心在极轴上的圆，半径为 $r$ ，圆心为 $C(a,0)$

极坐标方程表示为：

$$\begin{array}{rl}& \cos \theta =\frac{\rho }{2a}\\ \therefore & \rho =2a\cos \theta .\end{array}$$

过极点的圆：

圆心为 $C(a,\beta )$

极坐标方程为：

$$\begin{array}{r}\cos (\theta -\beta )=\frac{\rho }{2a}\\ \therefore \rho =2a\cos (\theta -\beta )\end{array}$$

椭圆

标准方程：

当焦点在 $x$ 轴上的时候：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$$

当焦点在 $y$ 轴上的时候：

$$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1(a>b)$$

以上椭圆方程的中心在原点

椭圆的面积：

其中， $a$ 为长轴长度， $b$ 为短轴长度。

椭圆的离心率：

$$e=\frac{\sqrt{(a^2-b^2)}}{a}$$

其中， $a$ 为长轴长度， $b$ 为短轴长度。

NOTE

特别需要注意的是，椭圆的面积有可能会被用在计算其面积最大（最小）的情况下，在二元函数中常见。

解决方法是利用拉格朗日乘子法。

双曲线

这部分包括上面的椭圆，在定积分以及二重积分上用的比较多。

标准方程

焦点在 $x$ 轴上：

$$\begin{array}{r}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$$

焦点坐标： $(\pm c,0)$

焦点在 $y$ 轴上：

$$\begin{array}{r}\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\end{array}$$

焦点坐标： $(0,\pm c)$

两焦点间的距离 $|F_1{F}_2|=2c(c>a>0)$$

等轴双曲线

等轴双曲线是指实轴长等于虚轴长。

$$\begin{array}{r}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\end{array}$$

其离心率固定为 $\sqrt{2}$

注意，一般来说，出现次数比较多的是等轴双曲线平移之后。

反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$ 的图像是等轴双曲线，其渐近线为 $x$ 轴和 $y$ 轴，对称中心为原点。

平移后的形式: $(y-m)=\frac{k}{x-n}(k\ne 0)$ ，图像仍是等轴双曲线，渐近线为 $x=n$ 和 $y=m$ ，对称中心为 $(n,m)$ 。

当然，还有可能是下面这个形式：

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{x+a}{x+b}\\ & =\frac{x+b-b+a}{x+b}\\ & =1+\frac{a-b}{x+b}\end{array}$$

形式就是平移之后的等轴双曲线，这个需要格外注意。

四种常用曲线

经常用于定积分求面积以及二重积分求体积。

星形线

基本方程：

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$$

参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta & & \end{array}$$

图像：

摆线

参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )& \end{array}$$

图像：

心形线

基本方程：

$$x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}$$

极坐标方程：

$$\rho =a(1-\cos \theta )$$

图像：

伯努利双纽线

双纽线有两个，一个关于 $Y$ 轴对称，一个关于原点对称

$Y$ 轴对称双纽线

一般方程：

$${(x^2+y^2)}^2=a^2(x^2-y^2)$$

极坐标方程：

$${\rho }^2=a^2\cos 2\theta$$

图像：

原点对称双纽线

一般方程：

$${(x^2+y^2)}^2=2a^{2}xy$$

极坐标方程：

$${\rho }^2=a^2\sin 2\theta$$

图像：

补充一个

$$|x|+|y|=1$$

这个经常用在二重积分上。图像如下：

需要注意的是，其关于 $y=x$ 对称，也就是在二重积分中可以使用轮换对称性

二重积分

常用三角变换：

$$\cos (2\theta )={\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )$$

坐标系转换

除直接算之外，从直角坐标系转换到极坐标系是一个很重要的方法。

$$x=r\cos (\theta )$$$$y=r\sin (\theta )$$$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

注意，在变换的时候由于二重积分换元需要用雅可比矩阵进行验证

所以变换到极坐标系需要多乘一个 $r$

例如：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy\text{其中区域 }D:x^2+y^2\le R^2$$

变量替换： $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

利用雅可比矩阵换元： $dA=dxdy\to rdrd\theta$

积分区域： $0\le r\le R,0\le \theta \le 2\pi$

进而得到：

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{R}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdrd\theta$$

特别注意：

$$f(x,y)=x^2+y^2\Rightarrow r^2\cdot r=r^3$$

首先来看 $\theta$ ， $\theta$ 的取值，主要是看积分区域的位置，比如说下面这个图：

当被积分区域为图中阴影部分时， $\theta$ 的取值为 $0$ 到 $\frac{\pi }{4}$ ，判断方法就是从 $x$ 轴出发，逆时针开始旋转，将所有的区域包含在内的范围就是 $\theta$ 的取值。

然后是 $r$ 的取值， $r$ 的取值主要是看从原点出发，发出一条射线，这条射线经过的曲线到原点的距离为 $r$ 的取值。

还是上面这个例子：

从原点出发，边界为 $x^2+y^2=4$ ，那么距离就为 $2$ ，所以 $r$ 的取值为 $0\sim 2$

---

还有一部分是从极坐标转换为直角坐标系。

首先要看的是 $r$ 的取值范围。利用 $\begin{array}{r}x=r\cos (\theta )\end{array}$ ， $y=r\sin (\theta )$ ，很明显，这里可以得到的是 $r=2$ 。

这里判断的方法则是： $r^2=4$ ，而 $r^2=r^2{\cos }^2(\theta )+r^2{\sin }^2(\theta )$ ，进而得到： $r^2=x^2+y^2=4$

再根据 $\theta$ 的取值范围，得到最后的结果。

当然，有的时候 $r$ 的取值范围并不一定是实数，也有可能是有关于 $\theta$ 的函数，这个时候依然是利用公式找出与 $r、\theta$ 与 $y、x$ 之间的关系。

例如： $r=\frac{1}{\cos \theta }$ ，则可以得到： $r\cos \theta =1$ ，则 $x=1$ 。

椭圆范围下的极坐标变换

880 P 51 T (6)

如果直接按照原来基本的方法去转换坐标系比较难算。

令 $x=ar\cos \theta$ ， $y=br\sin \theta$ ，则 $r=\sqrt{2}a\cos (2\theta )$

则，根据雅可比行列式计算得到：

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|=a\cdot b\cdot r$$

利用这个方法更快解决问题。

二重积分的定积分定义求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1}f(x,y)dy$$

二重积分的奇偶对称性

二重积分的奇偶性质需要结合积分区域与被积函数的奇偶性来综合判断。

当积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称时：

若 $f(x,y)$ 是关于 $y$ 的奇函数，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=0$ ； 若 $f(x,y)$ 是关于 $y$ 的偶函数，并设 $D_1$ 表示 $D$ 的上半平面部分，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)dxdy$ ；

当积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称时：

若 $f(x,y)$ 是关于 $x$ 的奇函数，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=0$ ； 若 $f(x,y)$ 是关于 $x$ 的偶函数，并设 $D_1$ 表示 $D$ 的右半平面部分，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)dxdy$ ；

NOTE

这个其实就是二重积分下面的奇零偶倍

不过，需要注意的是，在判断奇偶性的时候，需要结合积分区域和被积函数，并且这两个是相反的。

计算平面图形的形心坐标

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}xdxdy}{S_D}$$$$\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}ydxdy}{S_D}$$

其中：

$$S_D={\iint }_{D}dxdy$$

也就是区域面积。

二重积分中的参数方程问题

这类题目比较难。

其本质是积分区域的表达形式为参数方程。

这里与极坐标换元还不一样。二重积分换元是需要用雅可比行列式去计算偏移量。

直接用真题来说明。

2018 年数二

设平面 $D$ 由曲线： $\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}(0\le t\le 2\pi )$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 ${\iint }_D(x+2y)dxdy$ 。（它其实就是摆线）

具体的计算方法本质上就是直接将参数方程代入。

要会根据参数方程的范围，来确定 $x$ 、 $y$ 的范围。

在此题目中， $t\in [0,2\pi ]$ ，进而得到： $x\in [0,2\pi ]$ ，而 $y$ 的取值应该是从 $0$ 到 $y(x)$ 。

定积分与常数不等式

NOTE

如果一个不等式的一端是定积分，一端是常数，则计算方法一定是先积分中值定理，再罗尔定理

基本不等式

对于正实数 $a,b$ ，有：

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

按照顺序得到的结果是：

调和 < 几何 < 算术 < 平方

被称为调几算方

N 元均值不等式

对于任意的正整数 $n$ ，以及任意 $a_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$ 有：

$$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$$

写几个常用的：

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$$$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$$$$a+b+c+d\ge \sqrt[4]{abcd}$$

在往下延申不太常用

多元函数微分问题

连续、可微、可导

三者之间的关系

注意，以上关系图中均为单向箭头，即全是必要条件

多元函数求极限

1. 夹逼准则用的比较多。

2. 有界函数 $\times$ 无穷小量 = 无穷小量

3. 重要极限

4. 利用极坐标公式转换到一元函数

多元函数偏导数定义

一阶偏导数：

对 $x$ 的偏导数：

$$\begin{array}{rl}{f}_x(x_0,y_0)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0){|}_{x=x_0}\end{array}$$

对 $y$ 的偏导数：

$$\begin{array}{rl}{f}_y(x_0,y_0)& =\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x_0,y){|}_{y=y_0}\end{array}$$

二阶偏导数：

对 $x$ 求二阶偏导数：

$$\begin{array}{r}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f_x^{\prime }(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f_x^{\prime }(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

对 $y$ 求二阶偏导数：

$$\begin{array}{r}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f_y^{\prime }(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f_y^{\prime }(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}\end{array}$$

先对 $x$ ，在对 $y$ ：

$$\begin{array}{r}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f_x^{\prime }(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f_x^{\prime }(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}\end{array}$$

先对 $y$ ，在对 $x$ ：

$$\begin{array}{r}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f_y^{\prime }(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f_y^{\prime }(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

---

此外，如果在求偏导数的时候，其中的 $x$ 或者 $y$ 可以不变，则有：

以 $f_x^{\prime }$ 和 $f_y^{\prime }$ 为例：

$$f_x^{\prime }=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,y)}{x}$$$$f_y^{\prime }=\underset{y\to 0}{lim}\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}$$

多元函数可微的定义

可微的根本定义如下：

$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }z=f_x(x_0,y_0)\cdot \mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\cdot \mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}\right)\end{array}$$

而函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，等价于此极限成立：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f-df}{\rho }$$

其中， $\mathrm{\Delta }f$ 称为全增量， $\mathrm{\Delta }f=f(x+x_0,y+y_0)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$ ，其本质是在 $x$ 方向和 $y$ 方向上偏移量。

$df$ 是全微分， $df=f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y$ ，全微分不必多说。

$\rho =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$ 这个代表点之间的距离

而将其各部分展开得到的就是下面这个公式：

$$\begin{array}{r}\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{f(x_0+x,y_0+y)-f(x_0,y_0)-\{f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)\}}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0\end{array}$$

其中，可微的必要条件：

若 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微，则该函数在点 $(x,y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 都存在。

求解多元函数极值点

当有约束条件的时候，需要除了考虑内部极值点，也就是联立偏导数等于 $0$ 解得的驻点，还要考虑边界上的极值，这部分需要根据条件结合原函数进行求解。

例如：07 - 1

求函数 $f(x,y)=x^2+2y^2-x^2{y}^2$ ，其区域是 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 4,y\ge 0\}$ 。

其中，除了要利用上面的方法来计算一阶偏导数，求驻点（驻点也要满足区域限制）

还要看在边界上的极值点。

有两个边界：一个是 $y\ge 0$ ，那么就是令 $y=0$ ，代入原方程，得到： $y=x^2$ ，通过一元函数极值判断法得到 $x=0$ 的时候，是极值点，代入原方程计算出结果。

另外一个边界是 $x^2+y^2\le 4$ 。令 $y=\sqrt{4-x^2}$ ，同样的代入到原方程中得到： $f(x,\sqrt{4-x^2})$ ，同样利用一元函数极值判断法来求极值点。

有限约束条件极值问题（面积、距离等）

此类问题一般为给定条件下，求解最大或最小值问题。

其实无论是直接的点到曲面的距离，还是直线到曲面的距离，亦或者是曲面到曲面的距离，甚至是面积问题。都可以使用下面的方法来解决。

此类问题统称为有限元极值问题。

通解为构造拉格朗日函数，找到其驻点，最后求解。

$$L=d^2+\lambda (F)$$

其中， $d$ 为点到直线的距离； $F$ 为构造的大 $F$ 函数。

NOTE

这类问题的关键点在于两个，一个找到约束条件，一个是确定目标函数。

例如，题目中要求点到直线的最短距离，那么这个距离公式就是目标函数。

而一般来说，这个限制条件就是这个点所在的方程（一般为曲线方程）

通用的方程是：

$$L=f(x,y,z)+\sum _{i=0}^m{\lambda }_i{g}_i(x,y,z)$$

下面用例题说明：

例：880 P 43 T 6

求双曲线 $xy=4$ 与直线 $2x+y=1$ 之间的最短距离。

首先是在双曲线上任意取一点 $P(x,y)$ ，此点到直线的距离 $d$ 为：

$$d=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}$$

下面构造拉格朗日函数。

由题目可知，其中的目标函数就是 $d$ ，而限制条件就是曲线本身，因为 $P(x,y)$ 需要在从曲线上。

令 $L=d^2+\lambda (xy-4)$

$$\begin{array}{rl}L& ={\left(\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}\right)}^2+\lambda (xy-4)\\ & =\frac{1}{5}(2x+y-1{)}^2+\lambda (xy-4)\end{array}$$

对 $L$ 的各个参数分别求偏导数。然后令偏导数等于 $0$

$$\{\begin{array}{l}{L}_x^{\prime }=\frac{4}{5}(2x+y-1)+\lambda y=0\\ L_y^{\prime }=\frac{2}{5}(2x+y-1)+\lambda x=0\\ L_{\lambda }^{\prime }=xy-4=0\end{array}$$

然后解上面方程组，得到驻点。

驻点分别为： $(\sqrt{2},2\sqrt{2})$ 、 $(-\sqrt{2},-2\sqrt{2})$

然后将驻点分别带入距离公式 $d$ 中。得到两个驻点的距离。比较距离得到最短距离。

NOTE

在上面进行计算的时候，我们将原条件 $d$ 换成了 $d^2$ ，主要是为了简化计算。

除了上面的距离问题，还有其他的一些问题，比如：当有限元问题中出现多个限制条件，那么就不一定是单一的 $\lambda$ ，有可能出现多个 $\lambda$ ，比如 ${\lambda }_1$ 、 ${\lambda }_2$

例如 880 P 43 T 8

当然，除了上面的距离问题。可能出现的还有面积问题、体积问题。例如 880 P 43 T 9

在第一象限内，过曲线： $3x^2+2xy+3y^2=a$ 上任一点作其切线，切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小值为 $\frac{1}{4}$ ，求 $a$ 的值。

设切点为 $P(x,y)$ ，在曲线两边对 $x$ 求导，得到：

$$6x+2y+2x\frac{dy}{dx}+6y\frac{dy}{dx}=0$$

变换得到：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{3x+y}{x+3y}$$

则切线方程为：

$$Y-y=-\frac{3x+y}{x+3y}(X-x)$$

在两个坐标轴上的截距为：

$$x+\frac{x+3y}{3x+y}\cdot y\text{和}y+\frac{3x+y}{x+3y}\cdot x$$

那么得到面积是：

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}\cdot (x+\frac{x+3y}{3x+y}\cdot y)\cdot (y+\frac{3x+y}{x+3y}\cdot x)\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{a+8xy}\end{array}$$

现在已知的是面积最小为 $\frac{1}{4}$ ，通过上面的面积公式，可以得到只要 $xy$ 最大即可得到面积最小。

然后约束条件是 $P(x,y)$ 必须再曲线上面，所以可以构造拉格朗日函数：

$$L=xy+\lambda (3x^2+2xy+3y^2-a)$$

分别对 $x、y、\lambda$ 求导等于 $0$ 可以得到三个方程，解方程即可得到：

$$x=y=\frac{\sqrt{2a}}{4}$$

所以，得到 $a=1$

微分方程

内容较多，单独说明：微分方程

数列极限问题

真题：例题 54、55、56、57、58

IMPORTANT

理解极限的含义：

当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$ ，它代表着 $|X_n-a|<\delta$ ，其中 $\delta$ 是常数

并且， $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$ 只能代表无限远地方接近的值是什么，并不能推导出，在有限长的范围内， $X_n$ 的大小。

求数列极限

NOTE

数列极限一般有两种方法：

1. 夹逼准则

2. 单调有界必收敛

此外，在求数列极限的时候，如果是 $n\to +\mathrm{\infty }$ ，且有 $X_{n+1}=f\left(X_n\right)$ ，直接令 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=A$ ，代入到上述等式中得到： $A=f(A)$ ，将 $A$ 求出。

不出意外的话，这个 $A$ 就是极限值（有可能有多个）。当然还需要证明其单调，以及验证极限值唯一

前提条件是证明有界性和单调性

然后就是写过程，首先是用数学归纳法证明有界性。

1. 首项成立（大于某个数，或者小于某个数 ）
2. 假设第 $n$ 项也成立（大于某个数，或者小于某个数 ）
3. 代入到条件（代入 $X_{n+1}=f(X_n)$ ）中，证明第 $n+1$ 项也成立（大于某个数，或者小于某个数 ）。
4. 得到结论（有界，都大于 m 某个数，或者都小于某个数）

然后是证明单调性

利用后一项减前一项：

$$X_{n+1}-X_n=f(X_n)-X_n$$

NOTE

这里是 $f(X_n)=X_n$ ，还有可能是 $F(X_n)-F(X_{n-1})$ ，需要根据题目来进行判断。

接下来就可以选择构造函数进行求导（ $f(X_n)-X_n$ 大于 $0$ ，或者小于 $0$ ，这里就是导数的应用 -- 判断不等式）、使用数学归纳法，或者什么也不用，根据某些函数的性质、题目中的条件（大于 0 或者小于 0）即可得到证明。

NOTE

此外，如果是数列极限与积分相结合，首先考虑观察此积分是否能计算出来。如果不能计算出来，需要考虑积分中值定理或者放缩加夹逼

NOTE

在证明数列 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ 的时候，可以使用对 $a_n$ 加上绝对值，使用夹逼定理的方法来解决。 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=0$ ，因为绝对值大于 $0$ ，所以只需要证明一边即可。

来个例题：

设 $a_1=1$ ， $a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$ ，证明： $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在，并求此极限。

首先是证明有界性：

很明显， $a_1=1$ 是大于 $0$ 的，后面一项也是大于 $0$ 的，所以这里并不需要证明。然后可以判断出 $a_1<2$ 。设 $a_k<2$ ，则 $a_{k+1}=\sqrt{1+a_k}<\sqrt{1+2}<2$ ，由数学归纳法可以得到： $a_n$ 是有上界 $2$ 的。

然后是证明单调性：

如果这里使用构造的方法来证明：构造函数 $f(x)=x-\sqrt{1+x}$ ，求导得到： $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ ，当 $x>0$ 的时候， $f^{\prime }(x)>0$ ， $f(x)$ 单调递增。但是却找不到一个合适的值来使 $f(x)=0$ ，从而得到 $f(x)>0$ 。原因在于在定义域内， $x$ 不是恒大于 $\sqrt{1+x}$

所以这里在判断使用数学归纳法：

现在已知 $a_1=1$ ，明显 $a_2=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}>a_1$ ，则设 $a_{k+1}>a_k$ ，可以得到： $\sqrt{1+a_{k+1}}>\sqrt{1+a_k}$ ，可以得到： $a_{k+2}>a_{k+1}$ 。再由数学归纳法可以得到： $a_{n+1}>a_n$ ，这样就得到 $a_n$ 是单调递增的。

当证明了单调性和有界性，那么就可以直接令 $A=\sqrt{1+A}$ ，计算得到 $A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ （注意定义域），所以 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

收敛数列与其子列的关系

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$ ，等价于对于 $\{X_n\}$ 的任一子列 $\{X_{n_k}\}$ ，有：

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{n_k}=a$$

可以推出：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$$

例如：

如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$ 等价于， $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{2k}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{2k+1}=a$ 。

相反的， $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{3k}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{3k+1}=a$ 是不能推断出 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$ 的，因为少了一项 $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{3K+2}=a$ 。

数列极限的大小判断

如果已知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$$

那么可以推断出：

$$a_n<b_n$$

但是，如果在条件上加一个等于号，那么是不能推断出 $a_n<b_n$ 的。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b\cancel{⟹}{a}_n<b_n$$

常见泰勒公式

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \sin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\frac{62}{2835}{x}^9+\frac{1382}{155925}{x}^{11}+\frac{21844}{6081075}{x}^{13}+\frac{929569}{638512875}{x}^{15}+\cdots ,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\cdots +x\in [-1,1]\\ \arcsin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\frac{35}{1152}{x}^9+\cdots +,x\in (-1,1)\\ \ln (1+x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots ,x\in (-1,1]\\ \frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,x\in (-1,1)\\ \frac{1}{1+x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+\cdots ,x\in (-1,1)\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,x\in (-1,1)\end{array}$$

下面进行补充一个不是很常用的等价无穷小：

$$1-{\cos }^{a}x\sim \frac{a}{2}{x}^2$$

这个地方还是比较好用的，如果 $a=\frac{1}{2}$ 还好说，直接有理化即可，如果是三次根号下，就不太好处理了，则用这个公式即可快速求出结果。

下面是推导过程：

$$\begin{array}{rl}1-{\cos }^{a}x& =1-e^{a\ln \cos x}\\ & =1-[1+a\ln \cos x]\\ & =1-[1+a(\cos x-1)]\\ & =1-[1+a(1-\frac{1}{2}{x}^2-1)]\\ & =1-(1-\frac{a}{2}{x}^2)\\ & =\frac{a}{2}{x}^2\end{array}$$

关键点在于换成幂指函数的形式，然后利用泰勒展开即可。

来一道综合泰勒公式缝合极限题：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+\sin x+\cos x+\ln (1+x)+\sqrt{1+x}-(3+\frac{7}{2}x-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{19}{48}{x}^3)}{x^4}$$

贡献者

王海平

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