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积分中值定理

设函数 $f (x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，则 $\exists ξ \in [a, b]$ ，使得 $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a)$ 。

证明：

\begin{aligned} m & = f_{m i n} \\ M & = f_{m a x} \\ ∴ m \leq & f (x) \leq M \\ ∴ \int_{a}^{b} m d x \leq & \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x \\ ∴ m (b - a) \leq & \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) \end{aligned}

这里有两种情况，一种是 $b = a$ ，结果自然是 0 ，另外一种便是 $b > a$ 。大部分的都是这个样子的。

\begin{aligned} m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M \\ 由介值定理可得： \\ \exists ξ \in [a, b], m \leq f (ξ) \leq M \\ ∴ f (ξ) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ (b - a) f (ξ) = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{aligned}

即证。

众所周知，当 $f (x) \geq 0$ 的时候，定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 表示曲线 $y = f (x)$ 下方的曲边梯形的面积， $f (ξ) (b - a)$ 表示以 $f (ξ)$ 为高的同矩形的面积。

所以， $f (ξ)$ 也称为曲边梯形的平均高度，即： $f (ξ) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

同时， $f (ξ)$ 也称为在区间 $[a, b]$ 上的积分平均值，即有限个数的算数平均值的推广。

设函数 $f (x)$ 在闭区间 $D$ 上连续， $σ$ 为 $D$ 的面积，则 $\exists (ξ, η) \in D$ ，使得：

\iint_{D} f (x, y) d σ = f (ξ, η) \iint_{D} d σ = f (ξ, η) \cdot σ = f (ξ, η) \cdot S_{D}

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