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系统函数

卷积特性

IMPORTANT

时域卷积等于频域相乘

$$X(\omega )H(\omega )=Y(\omega )$$

进而得到：

$$H(\omega )=\frac{Y(\omega )}{X(\omega )}$$

其中：

$H(\omega )$ 为复函数， $H(\omega )=|H(\omega )|e^{j\phi (\omega )}$

$Y(\omega )=|Y(\omega )|e^{j{\phi }_y(\omega )}$ ， $X(\omega )=|X(\omega )|e^{j{\phi }_x(\omega )}$ 同理。

进而可以得到：

$$|H(\omega )|e^{j\phi (\omega )}=\frac{|Y(\omega )|e^{j{\phi }_y(\omega )}}{|X(\omega )|e^{j{\phi }_x(\omega )}}=\frac{|Y(\omega )|}{|X(\omega )|}{e}^{j({\phi }_y(\omega )-{\phi }_x(\omega ))}$$$$\begin{array}{r}|H(\omega )|=\frac{|Y(\omega )|}{|X(\omega )|}\end{array}$$$$\phi (\omega )={\phi }_y(\omega )-{\phi }_x(\omega )$$

系统对复指数信号的响应

当输入为 $x(t)=e^{j\omega t}$ 的时候：

$$\begin{array}{rl}y(t)& =h(t)\ast x(t)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{j\omega (t-\tau )d\tau }\\ & =e^{j\omega t}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ & =e^{j\omega t}H(\omega )\\ & =e^{j\omega t}|H(\omega )|e^{j\phi (\omega )}\\ & =|H(\omega )|\cdot e^{j(\omega t+\phi (\omega ))}\end{array}$$

当输入为 $x(t)=e^{-j\omega t}=e^{j(-\omega )t}$ 的时候 ：

$$\begin{array}{rl}y(t)& =h(t)\ast x(t)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega (t-\tau )d\tau }\\ & =e^{-j\omega t}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{j\omega \tau }d\tau \\ & =e^{-j\omega t}H(-\omega )\\ & =e^{-j\omega t}|H(-\omega )|e^{j\phi (-\omega )}\\ & =|H(-\omega )|\cdot e^{-j(\omega t+\phi (-\omega ))}\end{array}$$

推广得到：

输入为 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ （ ${\omega }_0$ 为常数 ），得到：

$$y(t)=h(t)\ast x(t)=|H({\omega }_0)|e^{j({\omega }_{0}t+\phi ({\omega }_0))}$$

系统对正弦信号的响应

NOTE

总结：

当输入信号为 $A\cos ({\omega }_{0}t+{\phi }_0)$ 的时候，系统的零状态响应为：

$$A|H({\omega }_0)|\cos (\omega t+{\phi }_0+\phi ({\omega }_0))$$

当输入信号为 $A\sin ({\omega }_{0}t+{\phi }_0)$ 的时候，系统的零状态响应为：

$$A|H({\omega }_0)|\sin (\omega t+{\phi }_0+\phi ({\omega }_0))$$

为了一般性，设输入信号为：

$$\begin{array}{rl}A\cos (\omega t+{\phi }_0)& =A\left[\frac{e^{j(\omega t+{\phi }_0)}+e^{-j(\omega t+{\phi }_0)}}{2}\right]\\ & =\frac{A}{2}{e}^{j{\phi }_0}\cdot e^{j\omega t}+\frac{A}{2}{e}^{-j{\phi }_0}\cdot e^{-j\omega t}\end{array}$$

NOTE

当输入信号为 $e^{j\omega t}$ 的时候，其经过系统的零状态相应为：

$$|H(\omega )|e^{j(\omega t+\phi (\omega ))}$$

当输入信号为 $e^{-j\omega t}$ 的时候，其经过系统的零状态响应为：

$$|H(-\omega ){|}^{-j(\omega t-\phi (-\omega ))}$$

对于输入为 $e^{-j\omega t}$ 的时候，由于一般来说 $h(t)$ 都为实信号。

而傅里叶变换具有奇偶虚实性。

NOTE

对于一个实信号

它的幅度谱是偶函数

它的相位谱是奇函数

这样就能得到：

$$|H(-\omega ){|}^{-j(\omega t-\phi (-\omega ))}=|H(\omega )|e^{-j(\omega t+\phi (\omega ))}$$

综上所述，可以得到当输入为 $A\cos (\omega t+{\phi }_0)$ ，其经过系统的零状态响应为：

$$\frac{A}{2}{e}^{j{\phi }_0}\cdot |H(\omega )|\cdot e^{j(\omega t+\phi (\omega ))}+\frac{A}{2}{e}^{-j{\phi }_0}|H(\omega )|\cdot e^{-j(\omega t+{\phi }_0(\omega ))}$$

进而得到：

$$\frac{A}{2}|H(\omega )|[e^{j(\omega t+{\phi }_0+\phi (\omega ))}+e^{-j(\omega t+{\phi }_0+\phi (\omega ))}]$$

进而得到：

$$A\cdot |H(\omega )|\cdot \cos (\omega t+{\phi }_0+\phi (\omega ))$$

IMPORTANT

当 $H(\omega )$ 存在时，如果激励为周期信号，其引起的响应即为零状态响应，也是稳态响应

一个例题：

直接代入公式即可。

记不住这种公式就直接对 $H(\omega )$ 的分子进行处理，换成 $\mathrm{Re}(z)+j\cdot \mathrm{Im}(z)$ 的形式即可。相位是 $\arctan \left(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)}\right)$ ，模是 $\sqrt{{\mathrm{Re}}^2(z)+{\mathrm{Im}}^2(z)}$

贡献者

王海平

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28d3e-笔记上传:2025-10-29 16:54:06