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首先来看其具体样子：

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right]$$

主对角线上为 $0$ ，其他地方上为 $1$

其计算方法如下：

将其变换为 $A=J-I$ ，其中 $J$ 代表 $n\times n$ 的全 1 方阵， $I$ 代表 $n\times n$ 的单位方阵

而 $|A|=|J-I|$

我们从性质的角度出发来计算这个行列式（本质上是使用特征值的方法）

由于 $J$ 为全 1 方阵，所以其秩为 1，所以有 $n-1$ 个特征值为 $0$ .

再根据 $J$ 的所有行和相同，可以取全 1 向量 $v=(1,1,\cdots ,1{)}^T$ ，使得：

$$Jv=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right](1,1,\cdots ,1{)}^T=(n,n,\cdots ,n{)}^T=n\times (1,1,\cdots ,1{)}^T=nv$$

所以，得到 $J$ 的一个特征值为 $n$

综上， $J$ 的特征值为一个 $n$ ， $n-1$ 个 $0$

所以， $A=J-I$ 的特征值为一个 $n-1$ , $n-1$ 个 $-1$

而其行列式为特征值的乘积：

$$|A|=det(A)=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right|=(n-1)\times (-1{)}^{n-1}$$

贡献者

王海平

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c207a-笔记上传:2025-12-14 15:27:09