王海平的个人知识库

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泰勒公式很常用，观察其推导过程也是不难发现，是利用在某一点各阶导数求得的。

那么如果我们要求某个函数在某一点的高阶导数值。

就可以对这个函数进行泰勒展开，找到此高阶导所对应的次幂。比如要求在 $x = 0$ 处的四阶导数。那么我需要找到展开之后的 $x^{4}$ 次方。

因为是要求导数值，所以如果要求四阶的导数值，那么小于四阶的导数值在求导的过程中就等于 $0$ ，就不需要计算了。而在计算比四阶高的阶数的时候。而不需要去考虑，因为得到的结果是无穷小量。故而同样可以忽略。

设 f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} ，求 f^{(n)} (0)

先进行展开：

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}

得到这里之后，就可以进行泰勒展开。

\begin{aligned} f (x) & = - \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - \frac{x}{2}}) + \frac{1}{1 - x} \\ = - \frac{1}{2} (1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^{2} + \dots \dots + (\frac{x}{2})^{n}) + (1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots \dots + x^{n}) \end{aligned}

目的是要求 $f^{(n)} (0)$ ，所以这个只跟 $n$ 阶次幂有关系，至于 $n - 1$ 次幂，在第 $n$ 次求导的时候等于 $0$ ，直接忽略。而大于 $n$ 阶的次幂求导得到的结果与题目无关，也可以忽略。

所以最后的结果是：

\begin{aligned} f^{(n)} (0) & = {(\frac{1}{2} (\frac{x}{2})^{n} + x^{n})}^{(n)} \\ = {(- \frac{1}{2^{(n + 1)}} x^{n} + x^{n})}^{(n)} \\ = - \frac{1}{2^{(n + 1)}} \cdot n! + n! \end{aligned}

完成。

f (x) = e^{x} \cdot \sin 2 x ，求 f^{(4)} (0)

这道题依然是用泰勒公式展开去找相关的高阶导数。

f (x) = (1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots \dots) \times (2 x - \frac{{(2 x)}^{3}}{3!} + \frac{(2 x)^{5}}{5!} + \dots \dots)

依然是只与 $x^{4}$ 有关系，而这里是相乘的方式，所以需要找出相乘之后为 $x^{4}$ 的项即可。

\begin{aligned} f^{(4)} (0) & = {(- \frac{(2 x)^{3}}{6} \cdot x + \frac{x^{3}}{6} \cdot (2 x))}^{'} \\ = {(- \frac{8}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{4})}^{'} \\ = {(- x^{4})}^{'} \\ = - 4! \\ = - 24 \end{aligned}

结束。

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